Нэг хувьсагчийн функцийн онол. Математик анализ. Нэг хувьсагчийн функцын онол Математик анализ 1

“Математикийн анализ” хичээлийн 1-р курс, 1-р улирлын шалгалтын асуултууд.

1. Олон түмэн. Багц дээрх үндсэн үйлдлүүд. Метрийн болон арифметик орон зай.

2. Тоон багц. Тоон шугам дээрх олонлогууд: сегмент, интервал, хагас тэнхлэг, хөршүүд.

3. Хязгаарлагдмал олонлогийн тодорхойлолт. Тооны багцын дээд ба доод хязгаар. Тоон олонлогийн дээд ба доод хязгаарын тухай постулатууд.

4. Арга математикийн индукц. Бернулли ба Кошигийн тэгш бус байдал.

5. Функцийн тодорхойлолт. Функцийн график. Тэгш ба сондгой функцууд. Тогтмол функцууд. Функцийг тодорхойлох аргууд.

6. Тогтвортой байдлын хязгаар. Конвергенц дарааллын шинж чанарууд.

7. Хязгаарлагдмал дараалал. Дарааллын зөрүүний хангалттай нөхцлийн тухай теорем.

8. Монотон дарааллын тодорхойлолт. Монотон дарааллын тухай Вейерштрассын теорем.

9. Тоо e.

10. Нэг цэг дэх функцийн хязгаар. Хязгааргүй функцийн хязгаар. Нэг талын хязгаарлалт.

11. Хязгааргүй жижиг функцууд. Функцын нийлбэр, үржвэр, хуваалтын хязгаар.

12. Тэгш бус байдлын тогтвортой байдлын тухай теоремууд. Тэгш бус байдлын хязгаарт хүрэх. Гурван функцийн тухай теорем.

13. Эхний болон хоёр дахь нь гайхалтай хязгаар юм.

14. Хязгааргүй том функцууд ба тэдгээрийн хязгааргүй жижиг функцтэй холбоо.

15. Төгсгөлгүй жижиг функцүүдийн харьцуулалт. Эквивалент хязгааргүй жижиг тоонуудын шинж чанарууд. Хязгааргүй жижиг тоонуудыг эквивалент тоогоор солих тухай теорем. Үндсэн эквивалентууд.

16. Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал. Үргэлжилсэн функц бүхий үйлдлүүд. Үндсэн үндсэн функцүүдийн тасралтгүй байдал.

17. Функцийн тасалдлын цэгүүдийн ангилал. Тасралтгүй байдлын тодорхойлолт

18. Нарийн төвөгтэй функцийн тодорхойлолт. Нарийн төвөгтэй функцийн хязгаар. Нарийн төвөгтэй функцийн тасралтгүй байдал. Гиперболын функцууд

19. Сегмент дээрх функцийн тасралтгүй байдал. Үргэлжилсэн функц интервалд устаж үгүй ​​болох ба функцийн завсрын утгын тухай Кошигийн теоремууд.

20. Интервал дээр тасралтгүй үргэлжлэх функцүүдийн шинж чанарууд. Тасралтгүй функцийн хязгаарлагдмал байдлын тухай Вейерштрассын теорем. Вейерштрассын теорем хамгийн том ба хамгийн бага утгафункцууд.

21. Монотон функцийн тодорхойлолт. Монотон функцийн хязгаарын тухай Вейерштрассын теорем. Интервал дээр монотон ба тасралтгүй функцийн утгуудын олонлогийн тухай теорем.

22. Урвуу функц. Урвуу функцийн график. Урвуу функцийн оршихуй ба тасралтгүй байдлын тухай теорем.

23. Урвуу тригонометр ба гипербол функцууд.

24. Функцийн деривативыг тодорхойлох. Үндсэн энгийн функцүүдийн деривативууд.

25. Дифференциалагдах функцийн тодорхойлолт. Функцийг ялгах шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл. Дифференциалагдах функцийн тасралтгүй байдал.

26. Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикийн тангенс ба нормаль тэгшитгэл.

27. Хоёр функцийн нийлбэр, үржвэр, хуваалтын дериватив

28. Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив ба түүний урвуу функц.

29. Логарифмын ялгаа. Параметрээр өгөгдсөн функцийн дериватив.

30. Функцийн өсөлтийн гол хэсэг. Функцийг шугаман болгох томъёо. Дифференциалын геометрийн утга.

31. Нарийн төвөгтэй функцийн дифференциал. Дифференциал хэлбэрийн инвариант байдал.

32. Дифференциалагдах функцүүдийн шинж чанарын тухай Рол, Лагранж, Кошигийн теоремууд. Төгсгөлийн өсөлтийн томъёо.

33. Хязгаарын хүрээнд тодорхойгүй байдлыг ил болгоход дериватив хэрэглэх. Л'Хопиталын дүрэм.

34. Деривативын тодорхойлолт n-р дараалал. n-р эрэмбийн дериватив олох дүрэм. Лейбницийн томъёо. Дээд захиалгын ялгаа.

35. Пеано хэлбэрийн үлдэгдэл гишүүнтэй Тейлорын томъёо. Лагранж, Коши хэлбэрийн үлдэгдэл нэр томъёо.

36. Өсөх, багасгах функцууд. Экстремум цэгүүд.

37. Функцийн гүдгэр ба хотгор. Гулзайлтын цэгүүд.

38. Эцэс төгсгөлгүй функцууд. Асимптотууд.

39. Функцийн график байгуулах схем.

40. Антидеривативын тодорхойлолт. Антидеривативын үндсэн шинж чанарууд. Интеграцийн хамгийн энгийн дүрмүүд. Энгийн интегралын хүснэгт.

41. Хувьсагчийг өөрчлөх замаар интеграл, тодорхойгүй интеграл дахь хэсгүүдээр нэгтгэх томъёо.

42. Маягтын илэрхийллийг нэгтгэх e ax cos bx ба e ax sin bx давтагдах хамаарлыг ашиглан.

	43. Бутархай интеграци			давтагдах харилцааг ашиглах.
			a 2 n

44. Рационал функцийн тодорхойгүй интеграл. Энгийн бутархайн интеграл.

45. Рационал функцийн тодорхойгүй интеграл. Зөв бутархайг энгийн бутархай болгон задлах.

46. Иррационал функцийн тодорхойгүй интеграл. Илэрхийлэлүүдийг нэгтгэх

	R x, м

47. Иррационал функцийн тодорхойгүй интеграл. R x , ax 2 bx c хэлбэрийн илэрхийллүүдийг нэгтгэх. Эйлерийн орлуулалт.

48. Маягтын илэрхийлэлүүдийг нэгтгэх

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Иррационал функцийн тодорхойгүй интеграл. Хоёр тоот дифференциал интеграл.

50. Тригонометрийн илэрхийллүүдийг нэгтгэх. Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт.

51. Нүглийн хувьд интеграл нь сондгой байх тохиолдолд рационал тригонометрийн илэрхийллүүдийн интеграл. x (эсвэл cos x) эсвэл бүр sin x ба cos x-ийн хувьд.

52. Илэрхийллийг нэгтгэх sin n x cos m x ба sin nx cos mx.

53. Илэрхийллийг нэгтгэх tg m x ба ctg m x .

54. Илэрхийллийг нэгтгэх R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 ба R x , x 2 a 2-г тригонометрийн орлуулалт ашиглан хийнэ.

55. Тодорхой интеграл. Муруй трапецын талбайг тооцоолох асуудал.

56. Интеграл нийлбэр. Дарбоусын дүн. Тодорхой интеграл байх нөхцөлийн тухай теорем. Интегралдах функцүүдийн ангиуд.

57. Тодорхой интегралын шинж чанарууд. Дундаж утгын теоремууд.

58. Дээд хязгаарын функц болох тодорхой интеграл. ТомъёоНьютон-Лейбниц.

59. Хувьсагчийг өөрчлөх томъёо, тодорхой интегралд хэсгүүдээр интегралдах томъёо.

60. Интеграл тооцооллын геометрийн хэрэглээ. Зургийн хэмжээ. Эргэлтийн тоонуудын хэмжээ.

61. Интеграл тооцооллын геометрийн хэрэглээ. Хавтгай дүрсний талбай. Муруй салбарын талбай. Муруй урт.

62. Эхний төрлийн буруу интегралын тодорхойлолт. ТомъёоНьютон-Лейбниц эхний төрлийн буруу интеграл. Хамгийн энгийн шинж чанарууд.

63. Эерэг функцийн хувьд эхний төрлийн буруу интегралуудын нийлбэр. 1 ба 2-р харьцуулах теоремууд.

64. Хувьсах функцээс эхний төрлийн зохисгүй интегралуудын үнэмлэхүй ба нөхцөлт нийлэлт. Абел, Дирихлет хоёрын нийлэх тест.

65. Хоёр дахь төрлийн буруу интегралын тодорхойлолт. ТомъёоХоёр дахь төрлийн буруу интегралын хувьд Ньютон-Лейбниц.

66. Буруу интегралуудын холболт 1 ба 2-р төрөл. Үндсэн утга утгаараа буруу интеграл.

Хувьсагчийг үзье x nхязгааргүй утгын дарааллыг авдаг

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

мөн хувьсагчийн өөрчлөлтийн хууль мэдэгдэж байна x n, өөрөөр хэлбэл натурал тоо бүрийн хувьд nта тохирох утгыг зааж өгч болно x n. Тиймээс хувьсагч гэж таамаглаж байна x n-ийн функц юм n:

x n = f(n)

Математик шинжилгээний хамгийн чухал ойлголтуудын нэг болох дарааллын хязгаар эсвэл хувьсагчийн хязгаарыг тодорхойлъё. x n, дарааллаар гүйж байна x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Тодорхойлолт.Тогтмол тоо адуудсан дарааллын хязгаар x 1 , x 2 , ..., x n , ... . эсвэл хувьсагчийн хязгаар x n, хэрэв дурын жижиг эерэг тооны e-ийн хувьд ийм натурал тоо байгаа бол Н(жишээ нь тоо Н) хувьсагчийн бүх утгууд x n, -аас эхлэн x Н, -ээс ялгаатай аүнэмлэхүй утгаараа e-ээс бага. Энэ тодорхойлолттовчхон ингэж бичсэн байна:

| x n -а |< (2)

хүн бүрийн өмнө n  Н, эсвэл, ижил зүйл юу вэ,

Коши хязгаарыг тодорхойлох. Хэрэв энэ функц нь a цэгийн аль нэг хэсэгт тодорхойлогдсон бөгөөд ε > 0 болгонд δ байгаа бол A тоог f (x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг. > 0 бүх x нөхцөлийг хангасан |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Гейний хязгаарыг тодорхойлох. Хэрэв энэ функц нь a цэгийн аль нэг хэсэгт тодорхойлогдсон бол a цэгээс өөрийг эс тооцвол, мөн ийм дарааллаар тодорхойлогддог бол A тоог f (x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг. a тоонд нийлснээр функцийн утгуудын харгалзах дараалал нь А тоонд нийлдэг.

Хэрэв f (x) функц нь a цэг дээр хязгаартай бол энэ хязгаар нь өвөрмөц юм.

Хэрэв ε > 0 бүрт δ > байгаа бол A цэгийн зүүн талын f (x) функцийн хязгаар A 1 гэж нэрлэгддэг.

Хэрэв ε > 0 тус бүрд δ > 0 байвал тэгш бус байдал бүгд биелнэ гэвэл A 2 тоог баруун талд байрлах f (x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг.

Зүүн талын хязгаарыг баруун талын хязгаараар тэмдэглэсэн - Эдгээр хязгаарууд нь а цэгийн зүүн ба баруун талын функцийн үйл ажиллагааг тодорхойлдог. Эдгээрийг ихэвчлэн нэг талын хязгаарлалт гэж нэрлэдэг. x → 0-ийн нэг талын хязгаарыг тодорхойлохдоо эхний тэгийг ихэвчлэн орхигдуулдаг: ба . Тиймээс, функцийн хувьд

Хэрэв ε > 0 болгонд бүх x-ийн хувьд |x – a| нөхцөлийг хангасан цэгийн δ-хөрш байгаа бол.< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, дараа нь тэд f (x) функц нь a цэг дээр хязгааргүй хязгаартай гэж хэлдэг:

Иймд функц нь x = 0 цэг дээр хязгааргүй хязгаартай байдаг. +∞ ба –∞-тэй тэнцүү хязгаарыг ихэвчлэн ялгадаг. Тэгэхээр,

Хэрэв ε > 0 бүрт δ > 0 байвал x > δ бүрт |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Яг дээдийн оршихуйн теорем

Тодорхойлолт:АR mR, m нь аА аm (аm) бол А-ийн дээд (доод) нүүр юм.

Тодорхойлолт:А олонлог нь дээрээс (доод талаас) хязгаарлагдмал, хэрэв aA, am (am) байхаар m байвал.

Тодорхойлолт: SupA=m, хэрэв 1) m нь А-ийн дээд хэмжээ юм

2) m’: m’ m' нь А-ийн дээд хэмжээ биш юм

InfA = n, хэрэв 1) n нь А-ийн инфимум бол

2) n’: n’>n => n’ нь А-ийн инфимум биш

Тодорхойлолт: SupA=m нь дараах тоо юм: 1)  aA am

2) >0 a  A, a  a-

InfA = n нь дараах тоо юм: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, ийм байдлаар a E a+

Теорем:Дээрээс нь хязгаарлагдсан ямар ч хоосон бус олонлог AR нь яг дээд утгатай бөгөөд өвөрмөц нэгтэй.

Нотолгоо:

m тоог тооны шулуун дээр байгуулж, энэ нь А-ийн дээд хэмжээ гэдгийг баталъя.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - A-ийн дээд хязгаар

[[m],[m]+1] сегмент - 10 хэсэгт хуваагдана

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m k =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[м],м 1 ...м K , [м],м 1 ...м K + 1 /10 К ]A=>[м],м 1 ...м K + 1/ 10 К - дээд ирмэг A

m=[m],m 1 ...m K нь дээд ба энэ нь цорын ганц гэдгийг баталцгаая.

k: .

Цагаан будаа. 11. y arcsin x функцийн график.

Одоо нийлмэл функцийн тухай ойлголтыг танилцуулъя ( зураглалын найрлага). D, E, M гурван багцыг өгөөд f: D→E, g: E→M гэж үзье. Мэдээжийн хэрэг, f ба g зураглалын найрлага эсвэл нийлмэл функц гэж нэрлэгддэг h: D→M шинэ зураглалыг байгуулах боломжтой (Зураг 12).

Нарийн төвөгтэй функцийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: z =h(x)=g(f(x)) эсвэл h = f o g.

Цагаан будаа. 12. Цогцолбор функцийн тухай ойлголтын дүрслэл.

f (x) функцийг дуудна дотоод функц, ба функц g (y) - гадаад функц.

1. Дотоод функц f(x)= x², гадаад функц g (y) sin y. Нарийн төвөгтэй функц z= g(f(x))=sin(x²)

2. Одоо бол эсрэгээрээ. Дотоод функц f (x)= sinx, гадаад функц g (y) y 2. u=f(g(x))=sin²(x)

Уг курс нь математик, эдийн засаг, эсвэл мэргэжлээр суралцаж буй бакалавр, магиструудад зориулагдсан болно байгалийн шинжлэх ухаан, мөн дунд сургуулийн математикийн багш, их дээд сургуулийн багш нарт зориулсан. Математикийн хичээлийг гүнзгийрүүлэн судалж буй сургуулийн хүүхдүүдэд ч хэрэг болно.

Хичээлийн бүтэц нь уламжлалт. Курсыг хамарна сонгодог материалМатематикийн анализаар их сургуулийн 1-р курст эхний семестрт суралцсан. “Олонлогийн онол ба бодит тооны элементүүд”, “Тооны дарааллын онол”, “Функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал”, “Функцийн дифференциал байдал”, “Яг ялгах чадварын хэрэглээ” гэсэн хэсгүүдийг үзүүлнэ. Бид олонлогийн тухай ойлголттой танилцаж, бодит тооны хатуу тодорхойлолтыг өгч, бодит тооны шинж чанарыг судлах болно. Дараа нь бид тооны дараалал, тэдгээрийн шинж чанаруудын талаар ярих болно. Энэ нь сургуулийн сурагчдад сайн мэддэг тоон функцийн тухай ойлголтыг шинэ, илүү нарийн түвшинд авч үзэх боломжийг бидэнд олгоно. Бид функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдлын тухай ойлголтыг танилцуулж, тасралтгүй функцүүдийн шинж чанар, тэдгээрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах талаар ярилцах болно.

Хичээлийн хоёрдугаар хэсэгт бид нэг хувьсагчийн функцийн дериватив ба дифференциал байдлыг тодорхойлж, дифференциалагдах функцийн шинж чанарыг судлах болно. Энэ нь функцийн утгыг ойролцоогоор тооцоолох, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, хязгаарыг тооцоолох, функцийн шинж чанарыг судлах, түүний графикийг байгуулах зэрэг чухал хэрэглээний асуудлуудыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжийг танд олгоно.

Формат

Сургалтын хэлбэр нь захидал харилцаа (зай) юм.
Долоо хоног бүрийн хичээлд сэдэвчилсэн видео лекц үзэх, үр дүнг автоматаар шалгах тестийн даалгавруудыг гүйцэтгэх зэрэг орно.
Сахилга батыг судлах чухал элемент бол тооцоолох, нотлох асуудлыг бие даан шийдвэрлэх явдал юм. Шийдэл нь зөв хариулт (тооцооллын асуудлын хувьд) эсвэл шаардлагатай мэдэгдлийг (онолын асуудлын хувьд) бүрэн нотлоход хүргэдэг нарийн бөгөөд логикийн хувьд зөв үндэслэлийг агуулсан байх ёстой.

Шаардлага

Сургалт нь бакалаврын 1-р курст зориулагдсан болно. Математикийн үндсэн мэдлэг шаардлагатай ахлах сургууль(11 анги).

Курсын хөтөлбөр

Лекц 1.Олонлогын онолын элементүүд.
Лекц 2.Бодит тооны тухай ойлголт. Тоон олонлогуудын яг нүүр царай.
Лекц 3.Бодит тоон дээрх арифметик үйлдлүүд. Бодит тооны шинж чанарууд.
Лекц 4.Тооны дараалал ба тэдгээрийн шинж чанарууд.
Лекц 5.Монотон дараалал. Коши дарааллын нэгдлийн шалгуур.
Лекц 6.Нэг хувьсагчийн функцийн тухай ойлголт. Функцийн хязгаар. Хязгааргүй жижиг, хязгааргүй том функцууд.
Лекц 7.Функцийн тасралтгүй байдал. Хагарлын цэгүүдийн ангилал. Тасралтгүй функцүүдийн орон нутгийн болон глобал шинж чанарууд.
Лекц 8.Монотон функцууд. Урвуу функц.
Лекц 9.Хамгийн энгийн энгийн функцууд ба тэдгээрийн шинж чанарууд: экспоненциал, логарифм ба чадлын функцууд.
Лекц 10.Тригонометр ба урвуу тригонометрийн функцууд. Гайхалтай хязгаарлалтууд. Функцийн жигд тасралтгүй байдал.
Лекц 11.Дериватив ба дифференциал гэсэн ойлголт. Деривативын геометрийн утга. Ялгах дүрэм.
Лекц 12.Үндсэн энгийн функцүүдийн деривативууд. Функцийн дифференциал.
Лекц 13.Дээд эрэмбийн дериватив ба дифференциал. Лейбницийн томъёо. Параметрээр тодорхойлогдсон функцүүдийн деривативууд.
Лекц 14.Дифференциалагдах функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд. Ролле ба Лагранжийн теоремууд.
Лекц 15.Коши теорем. L'Hopital-ийн тодорхой бус байдлыг илчлэх анхны дүрэм.
Лекц 16. L'Hopital-ийн тодорхой бус байдлыг илчлэх хоёр дахь дүрэм. Пеано хэлбэрийн үлдэгдэл гишүүнтэй Тейлорын томъёо.
Лекц 17.Үлдэгдэл гишүүнтэй Тейлорын томъёо ерөнхий хэлбэрээр, Лагранж, Коши хэлбэрээр. Үндсэн үндсэн функцүүдийн Маклаурины томъёоны дагуу өргөтгөл. Тейлорын томъёоны хэрэглээ.
Лекц 18.Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл. Функцийн графикийн асимптотууд. Гүдгэр.
Лекц 19.Гулзайлтын цэгүүд. Ерөнхий схемфункциональ судалгаа. График зурах жишээ.

Сургалтын үр дүн

Хичээлийг эзэмшсэний үр дүнд оюутан математикийн шинжилгээний үндсэн ойлголтууд: олонлог, тоо, дараалал, функцийн талаархи ойлголттой болж, тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцаж, эдгээр шинж чанаруудыг бодлого шийдвэрлэхдээ ашиглаж сурах болно.