C 6 수학적 귀납법. 자연수의 나눗셈 문제를 해결하기 위한 수학적 귀납법의 적용
비디오 튜토리얼“방법 수학적 귀납법"수학적 귀납법을 익히는 데 도움이 됩니다. 영상에는 메소드의 본질을 이해하고, 적용의 특징을 기억하고, 사용법을 배우는 데 도움이 되는 자료가 포함되어 있습니다. 이 방법문제를 해결할 때. 이 비디오 튜토리얼의 목적은 자료의 개발을 촉진하고 귀납법을 사용하여 수학적 문제를 해결하는 능력을 개발하는 것입니다.
학생들이 학습 내용에 집중할 수 있도록 애니메이션 효과, 일러스트레이션, 컬러 정보 표시 등이 사용됩니다. 비디오 수업은 교사의 수업 시간을 확보하여 개인 작업의 질을 향상시키고 기타 교육 문제를 해결합니다.
수학적 귀납법의 개념은 a 1 =4이고 a n+1 = an +2n+3인 수열 an n 을 고려하여 도입됩니다. 시퀀스 멤버의 일반적인 표현에 따르면 a 1 =4, a 2 =4+2·1+3=9, a 3 =9+2·2+3=16으로 결정됩니다. 숫자 4, 9, 16,...의 수열에 대해 n =(n+1) 2가 참이라고 가정합니다. 표시된 시퀀스 용어(첫 번째, 두 번째, 세 번째)에 대해 공식이 정확합니다. 임의로 큰 n에 대해 이 공식의 유효성을 증명하는 것이 필요합니다. 그러한 경우에는 진술을 증명하는 데 수학적 귀납법이 사용된다는 것이 표시됩니다.
방법의 본질이 드러납니다. n=k에 대한 공식은 유효한 것으로 간주되며 값은 a k =(k+1) 2 입니다. k+1 =(k+2) 2 를 의미하는 k+1에도 동일성이 유효하다는 것을 증명하는 것이 필요합니다. 이를 위해 a k +1 =ak +2k+3 공식에서 k를 (k+1) 2로 대체합니다. 유사한 것들을 대체하고 감소시킨 후, 우리는 평등 a k +1 =(k+2) 2 을 얻습니다. 이는 n에 대한 공식의 타당성이 n=k+1에 대해서도 참이 된다고 주장할 수 있는 권리를 우리에게 부여합니다. 숫자 4, 9, 16,... 및 일반 용어 a n =(n+1) 2로 표시되는 시퀀스 an n과 관련하여 고려된 증명은 공식이 다음으로 바뀌면 다음과 같이 주장할 권리를 제공합니다. n=1에 대한 진정한 평등, n=1+ 1=2에 대한 진정한 평등, 그리고 3에 대한 등, 즉 임의의 자연수 n에 대한 평등.
다음으로 귀납법의 본질을 수학적 언어로 표현한다. 이 방법의 원리는 두 가지 조건이 충족될 때 임의의 자연수 n에 대해 사실이 유지된다는 진술의 타당성에 기초합니다. 1) 진술은 n=1에 대해 참입니다. 2) n=에 대한 이 공식의 타당성으로부터 k n=k+1에 대해 유효하다는 결론이 나옵니다. 이 원리로부터 수학적 귀납법을 사용하여 증명의 구조를 따릅니다. 이 방법은 n=1에 대해 명제의 타당성에 대한 증명을 가정하고, n=k에 대한 증명의 타당성을 가정할 때 n=k+1에 대해서도 참임을 증명한다는 점에 유의하세요.
수학적 귀납법을 이용하여 아르키메데스의 공식을 증명한 예를 분석한다. 공식이 1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6이라고 가정합니다. n=1에 대한 공식의 유효성을 보여주기 위해 계산이 화면에서 수행됩니다. 증명의 두 번째 요점은 n=k에 대해 공식이 유효하다는 가정입니다. 즉, 1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 =k(k+1)(2k+1 형식을 취합니다. )/6. 이를 바탕으로 n=k+1에 대해서도 공식이 성립함을 증명합니다. n=k+1을 대입한 후 공식 1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =(k+1)(k+2)(2k+3)의 값을 얻습니다. /6. 이로써 아르키메데스의 공식이 증명되었습니다.
또 다른 예는 임의의 자연수 n에 대해 합 15 n +6의 7의 다중도 증명을 조사합니다. 증명에서는 수학적 귀납법을 사용합니다. 먼저, n=1에 대한 진술의 타당성을 확인합니다. 실제로 15 1 +6=21입니다. 그런 다음 n=k에 대해 타당성을 가정합니다. 이는 15 k +6이 7의 배수라는 것을 의미합니다. n=k+1을 공식에 대입하여 값 15 k +1 +6이 7의 배수임을 증명합니다. 표현식을 변환하면 다음과 같은 결과가 나옵니다. 15 k +1 +6=15 k +1 ·14+(15 k +6). 따라서 합 15 n +6은 7의 배수입니다.
비디오 강의 "수학적 귀납법"은 증명에 수학적 귀납법을 사용하는 본질과 메커니즘을 명확하고 자세하게 보여줍니다. 따라서 이 비디오 자료는 대수 수업에서 시각적 보조 자료 역할을 할 수 있을 뿐만 아니라 학생이 독립적으로 자료를 공부할 때 유용하며 원격 학습 중에 교사에게 주제를 설명하는 데 도움이 될 것입니다.
강의 6. 수학적 귀납법.
과학과 생활에 대한 새로운 지식은 다양한 방식으로 얻어지지만, 모두 (세부 사항을 다루지 않는 경우) 일반에서 특정으로, 특정에서 일반으로의 전환이라는 두 가지 유형으로 나뉩니다. 첫 번째는 공제이고, 두 번째는 유도입니다. 연역적 추론은 수학에서 일반적으로 불리는 것입니다. 논리적 추론, 그리고 수학 과학에서는 추론이 유일하게 합법적인 조사 방법입니다. 논리적 추론의 규칙은 고대 그리스 과학자 아리스토텔레스가 2500년 전에 공식화했습니다. 그는 가장 단순한 올바른 추론의 전체 목록을 만들었습니다. 삼단논법– 논리의 "구성 요소"이며 동시에 정확하지만 부정확한 일반적인 추론을 나타냅니다(미디어에서 이러한 "유사" 추론을 자주 접하게 됩니다).
유도 (유도 - 라틴어 안내) 사과가 그의 머리에 떨어진 후 아이작 뉴턴이 어떻게 만유인력의 법칙을 공식화했는지에 대한 유명한 전설에 의해 명확하게 설명됩니다. 물리학의 또 다른 예: 전자기 유도와 같은 현상에서 전기장은 자기장을 생성하고 "유도"합니다. “뉴턴의 사과”는 하나 이상의 특별한 경우, 즉, 관찰, 일반적인 진술을 "제안"하고 특정 사례를 기반으로 일반적인 결론을 내립니다. 귀납적 방법은 자연과학과 인문과학 모두에서 일반적인 패턴을 얻는 주요 방법입니다. 그러나 여기에는 매우 중요한 단점이 있습니다. 특정 사례를 기반으로 잘못된 결론을 도출할 수 있습니다. 개인적인 관찰에서 나온 가설이 항상 옳은 것은 아닙니다. 오일러에 의한 예를 생각해 봅시다.
일부 첫 번째 값에 대한 삼항식의 값을 계산합니다. N:
|
|
계산 결과 얻은 숫자는 소수입니다. 그리고 각 항목에 대해 직접 확인할 수 있습니다. N 1~39의 다항식 값 
소수입니다. 그러나 언제 N=40 우리는 소수가 아닌 숫자 1681=41 2를 얻습니다. 따라서 여기서 발생할 수 있는 가설, 즉 모든 경우에 N숫자 
간단하지만 거짓임이 밝혀졌습니다.
라이프니츠는 17세기에 모든 긍정적인 전체에 대해 다음을 증명했습니다. N숫자 
3으로 나눌 수 있는 숫자 
5 등으로 나눌 수 있습니다. 이를 바탕으로 그는 어떤 이상한 일이 일어날 것이라고 가정했습니다. 케이그리고 어떤 자연적인 N숫자 
다음으로 나눈다 케이, 그러나 곧 나는 그것을 알아차렸습니다. 
9로 나누어지지 않습니다.
고려된 예를 통해 우리는 중요한 결론을 내릴 수 있습니다. 진술은 여러 특별한 경우에 공정할 수 있지만 동시에 일반적으로 불공평할 수 있습니다. 일반적인 경우 진술의 타당성에 대한 문제는 다음과 같은 특별한 추론 방법을 사용하여 해결할 수 있습니다. 수학적 귀납법에 의한(완전인덕션, 완벽한 인덕션)
6.1. 수학적 귀납법의 원리.
◆ 수학적 귀납법의 방법은 다음을 기반으로 합니다. 수학적 귀납법의 원리 , 이는 다음과 같습니다:
1) 이 진술의 유효성이 확인됩니다.N=1 (유도기준) ,
2) 이 진술의 타당성은 다음과 같이 가정됩니다.N= 케이, 어디케이– 임의 자연수 1 (유도 가정) , 그리고 이 가정을 고려하여 그 타당성은 다음에 대해 확립됩니다.N= 케이+1.
증거. 그 반대를 가정해보자. 즉, 그 진술이 모든 자연계에 대해 참이 아니라고 가정해보자. N. 그러면 이런 자연스러운 일이 있지 중, 무엇:
1) 에 대한 진술 N=중불공정,
2) 모든 사람을 위한 N, 더 작은 중, 해당 진술은 참입니다(즉, 중명제가 참이 아닌 첫 번째 자연수입니다.)
그것은 분명하다 중>1, 왜냐면 을 위한 N=1 진술은 참입니다(조건 1). 따라서, 
– 자연수. 자연수의 경우 
그 명제는 참이고, 다음 자연수에 대해서는 중불공평해요. 이는 조건 2와 모순됩니다. ■
증명에서는 자연수 집합이 가장 작은 숫자를 포함한다는 공리를 사용했습니다.
수학적 귀납법의 원리에 기초한 증명을 호출합니다. 완전한 수학적 귀납법에 의해 .
예6.1.
자연적으로 증명해 보세요. N숫자 
3으로 나눌 수 있습니다.
해결책.
1) 언제 N=1, 그러니까 에이 1은 3으로 나누어지고 다음의 명제는 참입니다. N=1.
2) 다음 진술이 참이라고 가정합니다. N=케이,
, 즉, 그 숫자 
는 3으로 나누어질 수 있으며, 우리는 다음을 확립합니다. N=케이+1 숫자는 3으로 나눌 수 있습니다.
사실은,
왜냐하면 각 항은 3으로 나누어지고 그 합도 3으로 나누어집니다. ■
예6.2. 첫 번째 합이 증명 N자연 홀수는 숫자의 제곱과 같습니다.
해결책.완전한 수학적 귀납법을 사용해보자.
1) 우리는 다음과 같은 경우에 이 진술의 타당성을 확인합니다. N=1: 1=1 2 – 이는 사실입니다.
2) 첫 번째의 합이 다음과 같다고 가정합니다. 케이
(
)의 홀수는 이 숫자의 수의 제곱과 같습니다. 이 평등을 바탕으로 우리는 첫 번째의 합을 확립합니다. 케이+1 홀수는 다음과 같습니다. 
, 즉 .
우리는 가정을 사용하여 다음을 얻습니다.
. ■
완전한 수학적 귀납법은 일부 부등식을 증명하는 데 사용됩니다. 베르누이 부등식을 증명해보자.
예6.3.
언제 증명해 보세요. 
그리고 어떤 자연적인 N불평등은 사실이다 
(베르누이 부등식).
해결책. 1) 언제 N=1 우리는 얻습니다 
, 그것은 사실입니다.
2) 우리는 다음과 같이 가정합니다. N=케이불평등이 있다 
(*). 이 가정을 사용하여 우리는 다음을 증명합니다. 
. 그럴 때 참고하세요 
이 불평등이 성립하므로 이 경우를 고려하는 것으로 충분합니다. 
.
부등식(*)의 양변에 숫자를 곱해보자 
그리고 우리는 다음을 얻습니다:
즉 (1+ 
.■
방법에 의한 증명 불완전한 수학적 귀납법
에 따라 일부 진술 N, 어디 
비슷한 방식으로 수행되지만 처음에는 가장 작은 값에 대해 공정성이 확립됩니다. N.
일부 문제에서는 수학적 귀납법으로 증명할 수 있는 진술을 명시적으로 언급하지 않습니다. 그러한 경우에는 스스로 패턴을 설정하고 이 패턴의 타당성에 대한 가설을 세운 다음 수학적 귀납법을 사용하여 제안된 가설을 테스트해야 합니다.
예6.4.
금액 찾기 
.
해결책.합계를 구해보자 에스 1 ,
에스 2 ,
에스 3. 우리는 
,
,
. 우리는 어떤 자연적인 경우에도 N공식은 유효하다 
. 이 가설을 테스트하기 위해 완전 수학적 귀납법을 사용합니다.
1) 언제 N=1 가설은 정확합니다. 왜냐하면 
.
2) 가설이 참이라고 가정하자. N=케이,
, 즉 
. 이 공식을 사용하면 다음과 같은 경우에도 가설이 참이라는 것을 알 수 있습니다. N=케이+1, 즉
사실은,
그래서 가설이 참이라는 가정하에 N=케이,
, 이는 에 대해서도 사실임이 입증되었습니다. N=케이+1, 수학적 귀납법의 원리에 기초하여 공식이 모든 자연수에 대해 유효하다는 결론을 내립니다. N.
■
예6.5.
수학에서는 두 개의 등속 연속 함수의 합이 등속 연속 함수라는 것이 증명되었습니다. 이 진술을 바탕으로 어떤 숫자의 합이 다음과 같음을 증명해야 합니다. 
등속 연속 함수는 등속 연속 함수입니다. 그러나 우리는 아직 "균등 연속 함수"라는 개념을 도입하지 않았으므로 문제를 좀 더 추상적으로 제기하겠습니다. 에스, 그 자체에는 속성이 있습니다. 에스. 임의 개수의 함수의 합이 다음 속성을 갖는다는 것을 증명해 보겠습니다. 에스.
해결책.여기서 귀납의 기초는 문제 자체의 공식화에 포함되어 있습니다. 유도 가정을 한 후 다음을 고려하십시오. 
기능 에프 1 ,
에프 2 ,
…, 에프 N ,
에프 N속성이 있는 +1 에스. 그 다음에 . 오른쪽에는 첫 번째 항에 속성이 있습니다. 에스귀납 가설에 따르면 두 번째 항은 다음과 같은 속성을 갖습니다. 에스조건에 따라. 결과적으로 그들의 합은 다음과 같은 속성을 갖습니다. 에스– 두 가지 용어에 대해 귀납적 기초가 "작동합니다".
이것은 진술을 증명하며 우리는 그것을 더 사용할 것입니다. ■
예6.6. 모든 자연을 찾아라 N, 이는 부등식이 참임
.
해결책.고려해 봅시다 N=1, 2, 3, 4, 5, 6. 다음이 있습니다: 2 1 >1 2, 2 2 =2 2, 2 3<3 2 ,
2 4 =4 2 ,
2 5 >5 2, 2 6 >6 2. 따라서 우리는 다음과 같은 가설을 세울 수 있습니다. 불평등 
모두를 위한 자리가 있어요 
. 이 가설의 진실성을 증명하기 위해 불완전한 수학적 귀납법의 원리를 사용하겠습니다.
1) 위에서 설정한 바와 같이 이 가설은 다음과 같은 경우에 참이다. N=5.
2) 다음과 같은 경우에 해당한다고 가정합니다. N=케이,
즉, 부등식이 유효합니다. 
. 이 가정을 사용하여 우리는 부등식을 증명합니다. 
.
왜냐하면 
그리고 에 
불평등이 있다 
~에 
,
그러면 우리는 그것을 얻습니다 
. 그렇다면 가설의 진실은 N=케이+1은 다음과 같은 경우에 참이라는 가정에서 따릅니다. N=케이,
.
단락에서. 불완전한 수학적 귀납법의 원리에 기초하여 1과 2는 불평등이 따른다 
모든 자연에 대해 사실 
.
■
예6.7.
임의의 자연수에 대해 이를 증명하세요. N미분 공식이 유효하다 
.
해결책.~에 N=1 이 수식은 다음과 같습니다 
, 또는 1=1, 즉 정확합니다. 유도 가정을 하면 다음과 같습니다.
Q.E.D. ■
예6.8.
다음으로 구성된 집합임을 증명하세요. N요소가 있습니다 
하위 집합
해결책.하나의 요소로 구성된 집합 에이, 두 개의 하위 집합이 있습니다. 이는 모든 부분집합이 공집합이고 공집합 자체이고 2 1 =2이기 때문에 사실입니다.
모든 세트가 다음과 같이 가정하자. N요소에는 
하위 집합 세트 A가 다음으로 구성되어 있는 경우 N+1 요소, 그 안에 하나의 요소를 고정합니다. 이를 표시합니다. 디, 모든 하위 집합을 두 클래스로 나눕니다. 디그리고 함유 디. 첫 번째 클래스의 모든 부분 집합은 A에서 요소를 제거하여 얻은 집합 B의 부분 집합입니다. 디.
B 세트의 구성은 다음과 같습니다. N요소이므로 귀납법에 의해 그는 
하위 집합이므로 첫 번째 클래스에서는 
하위 집합
그러나 두 번째 클래스에는 동일한 수의 하위 집합이 있습니다. 각 하위 집합은 요소를 추가하여 첫 번째 클래스의 정확히 하나의 하위 집합에서 얻습니다. 디. 따라서 전체적으로 세트 A 
하위 집합
따라서 그 진술은 입증되었습니다. 이는 0개의 요소로 구성된 집합(빈 집합)에도 해당됩니다. 이 집합은 단일 하위 집합(자체 및 2 0 = 1)을 갖습니다. ■
MBOU Lyceum "기술 및 경제"
수학적 귀납법
수학적 귀납법.
설명 노트
방법론 개발 "수학적 귀납법"은 10학년 수학적 프로필 학생들을 위해 작성되었습니다.
주요 목표: 학생들에게 수학적 귀납법을 소개하고 이를 다양한 문제 해결에 적용하는 방법을 가르칩니다.
안에 방법론적 발전초등 수학 문제가 고려됩니다. 올림피아드에서 제안된 문제를 포함하여 가분성 문제, 신원 증명, 불평등 증명, 다양한 수준의 복잡성 문제가 제안됩니다.
실험과학에서 귀납적 결론의 역할은 매우 크다. 그들은 연역을 통해 추가 결론을 도출할 수 있는 조항을 제공합니다. 이름 수학적 귀납법기만적 - 사실 이 방법은 연역적이며 귀납법을 통해 추측된 진술에 대한 엄격한 증거를 제공합니다. 수학적 귀납법은 다양한 수학 분야 간의 연결을 식별하는 데 도움이 되며 학생의 수학적 문화 발전에 도움이 됩니다.
수학적 귀납법의 정의. 완전 유도와 불완전 유도. 불평등 증명. 신원 증명. 가분성 문제 해결. "수학적 귀납법"이라는 주제로 다양한 문제를 해결합니다.
교사를 위한 문학
1. M.L. 대수학 및 수학적 분석 과정에 대한 심층 연구. – M. 교육 1986.
2. L.I.Zvavich. 대수학과 분석의 시작. 교훈적인 자료. M. 버스타드.2001.
3. N.Ya.Vilenkin. 대수학과 수학적 분석. M 계몽.1995.
4. Yu.V.Mikheev. 수학적 귀납법. NSU.1995.
학생을 위한 문학
1. N.Ya.Vilenkin. 대수학 및 수학적 분석. M 계몽.1995.
2. Yu.V.Mikheev. 수학적 귀납법. NSU.1995.
핵심 단어
귀납법, 공리, 수학적 귀납법의 원리, 완전 귀납법, 불완전 귀납법, 진술, 동일성, 불평등, 분할성.
주제에 대한 교훈적인 부록
"수학적 귀납법".
레슨 #1.
수학적 귀납법의 정의.
수학적 귀납법은 새로운 결과를 찾고 가정의 진실성을 증명하는 매우 효과적인 방법 중 하나입니다. 수학에서 이 방법은 새로운 것은 아니지만 이에 대한 관심은 줄어들지 않습니다. 처음으로 수학적 귀납법은 뛰어난 프랑스 과학자 블레즈 파스칼이 17세기에 그의 이름을 딴 숫자 삼각형의 성질을 증명할 때 사용했습니다. 그러나 수학적 귀납법의 아이디어는 고대 그리스인들에게 알려졌습니다. 수학적 귀납법의 방법은 공리로 받아들여지는 수학적 귀납법의 원리에 기초합니다. 예를 사용하여 수학적 귀납법의 아이디어를 살펴 보겠습니다.
예 1.
정사각형은 세그먼트에 의해 두 부분으로 나누어지고, 결과 부분 중 하나가 두 부분으로 나누어지는 식입니다. 정사각형을 몇 부분으로 나눌 것인지 결정 N단계?
해결책.
첫 번째 단계가 끝나면 조건에 따라 부품 2개를 받게 됩니다. 두 번째 단계에서는 한 부분을 그대로 두고 두 번째 부분을 2부분으로 나누어 3부분을 얻습니다. 세 번째 단계에서는 2개의 부분을 그대로 두고, 세 번째 부분을 두 부분으로 나누어 4개의 부분을 얻습니다. 네 번째 단계에서는 3개의 부분을 그대로 두고, 마지막 부분을 2개의 부분으로 나누어 5개의 부분을 얻습니다. 다섯 번째 단계에서는 6개의 부품을 얻습니다. 이는 다음을 통해 제안을 요청합니다. N우리가 얻을 단계 (n+1)부분. 하지만 이 제안은 입증되어야 합니다. 이후에 가정해보자 에게사각형은 다음 단계로 나누어집니다. (k+1)부분. 그럼 (k+1)우리가 취하는 단계 에게부분은 그대로 유지되지만 (k+1)부분을 두 부분으로 나누어서 얻으십시오. (k+2)부분품. 당신은 당신이 원하는 만큼, 무한정 이런 식으로 논쟁할 수 있다는 것을 알게 됩니다. 즉, 우리의 가정은 다음과 같습니다. N사각형은 다음 단계로 나누어집니다. (n+1)부분이 입증됩니다.
예 2.
할머니에게는 잼을 정말 좋아하는 손녀가 계셨는데, 특히 리터 병에 담긴 종류의 잼을 좋아하셨습니다. 하지만 할머니는 내가 그를 만지는 것을 허락하지 않았습니다. 그리고 손녀들은 할머니를 속일 계획을 세웠습니다. 그는 매일 이 병의 1/10리터를 먹고 물을 채워서 잘 섞기로 결정했습니다. 잼을 물로 반으로 희석해도 모양이 그대로 유지된다면 할머니가 속임을 발견하는 데 며칠이 걸릴까요?
해결책.
병에 순수한 잼이 얼마나 남아 있는지 알아봅시다. N날. 첫날이 지나면 9/10 잼과 1/10 물로 구성된 혼합물이 병에 남습니다. 이틀 후에는 물과 잼 혼합물의 1/10이 병에서 사라지고 남게 됩니다(혼합물 1리터에는 9/10리터의 잼이 포함되고, 1/10리터의 혼합물에는 9/100리터의 잼이 포함됩니다). )
9/10 – 9/100=81/100=(9/10) 잼 2리터. 셋째 날에는 81/100 잼과 19/100 물로 구성된 혼합물 1/10 리터가 병에서 사라집니다. 혼합물 1리터에는 81/100리터의 잼이 포함되어 있고, 혼합물 1/10리터에는 81/1000리터의 잼이 포함되어 있습니다. 81/100 – 81/1000=
729/1000=(9/10) 3일 후에 3리터의 잼이 남고 나머지는 물로 흡수됩니다. 패턴이 나타납니다. 을 통해 N은행 잔고 일수(9/10) N내가 잼. 하지만 이것도 역시 우리의 추측일 뿐이다.
허락하다 에게– 임의의 자연수. 이후에 가정해보자 에게며칠 동안 병에 잼이 (9/10)리터 남게 됩니다. 다른 날, 즉 은행에 무엇이 있을지 봅시다. (k+1)낮. 항아리에서 사라질 것이다 1/10리터다음으로 구성된 혼합물 (9/10) 에게 엘잼과 물. 안에 1리터혼합물은 (9/10) 에게 엘잼, 안으로 1/10리터혼합물 (9/10) k+1 엘잼. 이제 우리는 다음을 통해 안전하게 말할 수 있습니다. N은행에 남은 일수 (9/10) N 엘잼. 6일 안에 은행에서 531444/1000000l잼, 7일 후 - 4782969/10000000l잼, 즉 절반 미만입니다.
답변: 7일 후에 할머니는 속임수를 발견하게 됩니다.
고려된 문제를 해결하는 데 가장 중요한 사항을 강조해 보겠습니다. 우리는 개별적인 경우나 소위 말하는 특수한 경우를 고려하여 각각의 문제를 해결하기 시작했습니다. 그런 다음 우리는 관찰한 내용을 바탕으로 몇 가지 가정을 세웠습니다. P(n), 자연 상태에 따라 피.
진술이 확인되었습니다. 즉, 입증되었습니다. P(1), P(2), P(3);
제안했다 P(n)에 유효 p=k그리고 다음에는 그것이 사실이 될 것이라고 결론을 내렸습니다. n, n=k+1.
그리고 그들은 다음과 같이 추론했습니다. 피(1)오른쪽, 피(2)오른쪽, 피(3)오른쪽, 피(4)그렇죠...그 말은 그렇군요 P(p).
수학적 귀납법의 원리.
성명 P(n), 자연 상태에 따라 N, 모든 자연에 유효 N, 만약에
1) 진술의 타당성은 다음과 같이 입증되었습니다. n=1;
2) 진술의 타당성을 가정하여 P(n)~에 p=k~해야 한다
정당성 P(n)~에 n=k+1.
수학에서는 수학적 귀납법의 원리가 원칙적으로 자연수열을 정의하는 공리 중 하나로 선택되므로 증명 없이 받아들여집니다. 수학적 귀납법의 원리를 이용한 증명 방법을 일반적으로 수학적 귀납법이라고 합니다. 이 방법은 분할성 문제 및 기타 여러 문제를 해결하는 데 있어 정리, 항등식, 부등식을 증명하는 데 널리 사용됩니다.
레슨 #2
완전 유도와 불완전 유도.
수학적 진술이 유한한 수의 객체와 관련된 경우 각 객체에 대해 테스트하여 증명할 수 있습니다. 예를 들어 "모든 두 자리 짝수는 두 소수의 합입니다." 유한한 수의 경우에 대해 명제를 테스트하는 증명 방법을 완전 수학적 귀납법이라고 합니다. 이 방법은 비교적 드물게 사용되는데, 그 이유는 명령문이 무한 집합에서 가장 자주 고려되기 때문입니다. 예를 들어, "모든 짝수는 두 소수의 합과 같다"라는 정리는 아직 입증되거나 반증되지 않았습니다. 비록 우리가 이 정리를 처음 10억 달러 동안 테스트하더라도 그 증명에 한 걸음 더 다가갈 수는 없을 것입니다.
안에 자연 과학불완전 귀납법을 사용하고 실험을 여러 번 확인한 후 결과를 모든 경우에 전달합니다.
예 번호 3.
불완전 귀납법을 사용하여 자연수 세제곱의 합 공식을 추측해 보겠습니다.
해결책.
1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;
1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; ...; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 .
증거.
그것이 사실이기를 바랍니다 p=k.
그것이 사실임을 증명해 봅시다. n=k+1.
결론: 자연수 세제곱의 합 공식은 모든 자연수에 적용됩니다. 피.
예 번호 4.
평등을 고려하고 이러한 예가 어떤 일반 법칙으로 이어지는지 추측해 보세요.
해결책.
1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+13+14+15+16=27+64
17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125
……………………………………………………………..
예 번호 5.
다음 표현식을 합계로 작성합니다.
1) 
2) 
3)
; 4) 
.
그리스 문자 "시그마".
예 번호 6.
기호를 사용하여 다음 금액을 쓰십시오. 
:
2) 
예 번호 7.
다음 표현식을 제품으로 작성하세요.
1) 
3) 
4) 
예 번호 8.
기호를 사용하여 다음 작품을 쓰세요. 
(대문자 그리스 문자 "pi")
1) 
2)
예 번호 9.
다항식의 값 계산 
에프
(
N
)=
N
2
+
N
+11
, 에 n=1,2,3,4.5,6,7
어떤 자연적인 경우에도 가정을 할 수 있습니다.N숫자 에프
(
N
)
단순한.
이 가정이 맞나요?
해결책.
합계의 각 항이 숫자로 나누어지면 합계는 해당 숫자로 나누어집니다. 
어떤 자연수에도 소수가 아니다피.
유한한 수의 사례에 대한 분석은 수학에서 중요한 역할을 합니다. 특정 진술에 대한 증명을 제공하지 않고도 해당 진술이 아직 알려지지 않은 경우 이 진술의 올바른 공식을 추측하는 데 도움이 됩니다. 이것이 바로 상트페테르부르크 과학 아카데미 회원인 골드바흐가 2로 시작하는 모든 자연수의 합은 다음보다 크지 않다는 가설에 도달한 방법입니다. 세 가지 간단한숫자.
수업 #3.
수학적 귀납법을 사용하면 다양한 항등식을 증명할 수 있습니다.
예 10.이를 모두에게 증명해 보겠습니다. N정체성이 유지된다
해결책.
넣어보자 
우리는 그것을 증명해야 합니다
그럼 증명해 보자. 그러면 정체의 진실로부터
정체성의 진실을 따른다 
수학적 귀납법을 이용하여 항등의 참됨이 모두에게 증명됩니다. N.
예 번호 11.
신원을 증명해보자 
증거.
결과적으로 용어 별 평등이 발생합니다.
; 
. 이는 이 정체성이 모든 사람에게 적용된다는 것을 의미합니다.N
.
수업 번호 4.
수학적 귀납법을 이용한 신원 증명.
예 번호 12.
신원을 증명해보자 
증거.
수학적 귀납법을 사용하여 모든 사람에게 평등이 적용됨을 증명했습니다. N.
예 번호 13.
신원을 증명해보자 
증거.
수학적 귀납법의 원리를 사용하여 우리는 이 진술이 모든 자연계에 대해 참이라는 것을 증명했습니다. N.
예 번호 14. 신원을 증명해보자
증거.
예 번호 15. 신원을 증명해보자
1)
n=1;
2) p=k
평등이 유지된다 
3) 우리는 평등이 성립함을 증명합니다. p=k+1:
결론: 신원은 모든 자연인에게 유효합니다. 피.
예 번호 16.신원을 증명해보자
증거.
만약에 n=1
, 저것 
정체성을 유지하자 p=k.
항등식이 다음에 대해 성립함을 증명해 보겠습니다. n=k+1.
그러면 그 정체성은 모든 자연계에 참이 됩니다. N.
수업 번호 5.
수학적 귀납법을 이용한 신원 증명.
예 번호 17.신원을 증명해보자
증거.
만약에 n=2
, 그러면 올바른 동등성을 얻습니다. 
평등이 사실이되도록하십시오p=k:
다음과 같은 경우에 진술의 타당성을 증명해 보겠습니다. n=k+1.
수학적 귀납법의 원리에 따라 항등식이 증명됩니다.
예 번호 18.
신원을 증명해보자 
n≥2일 때.
~에 n=2
이 ID는 매우 간단한 형식으로 다시 작성할 수 있습니다. 
그리고 분명히 사실이다.
에 보자 p=k정말
.
다음과 같은 경우에 진술의 타당성을 증명해 보겠습니다.n=k+1, 즉, 동등성은 다음과 같습니다.
따라서 우리는 모든 자연수에 대해 동일성이 참임을 증명했습니다. n≥2.
예 번호 19. 신원을 증명해보자
~에 n=1
우리는 올바른 평등을 얻습니다. 
언제라고 가정하자 p=k우리는 또한 올바른 평등을 얻습니다:
평등이 유효하다는 것을 증명해 봅시다. p=k+1:
그러면 신원은 모든 자연수에 대해 유효합니다. N.
수업 번호 6.
가분성 문제 해결.
예 번호 20.수학적 귀납법으로 증명하면 다음과 같습니다.
다음으로 나눈다 6
흔적도 없이.
증거.
~에 n=1
로 구분이 있습니다6
흔적도 없이, 
.
에 보자 p=k
표현 
다수의6.
언제 증명해 보자. p=k+1
표현 
다수의6
.
각 항은 배수이다 6 이므로 합은 배수이다. 6 .
예 번호 21.
~에5
흔적도 없이.
증거.
~에 n=1
표현은 나머지 없이 나누어진다 
.
에 보자 p=k
표현 
로도 나누어진다5
흔적도 없이.
~에 p=k+1다음으로 나눈다 5 .
예 번호 22.
표현식의 가분성 증명 
~에16.
증거.
~에 n=1다수의 16 .
에 보자 p=k
다수의16.
~에 p=k+1
모든 용어는 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 16: 첫 번째는 자명한 것이고, 두 번째는 가정에 의한 것이며, 세 번째는 괄호 안에 짝수가 있습니다.
예 번호 23.
가분성을 증명하라 
~에676.
증거.
먼저 증명해 보자. 
다음으로 나눈다 
.
~에 n=0
.
에 보자 p=k
다음으로 나눈다26
.
그런 다음 p=k+1다음으로 나눈다 26 .
이제 문제의 진술에 공식화된 진술에 대한 증명을 수행하겠습니다.
~에 n=1다음으로 나눈다 676.
~에 p=k
그건 사실이야 
다음으로 나눈다26
2
.
~에 p=k+1 .
두 용어 모두 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 676 ; 첫째 - 우리는 다음과 같이 나누어짐을 증명했기 때문입니다. 26 괄호 안에 표현하고 두 번째는 귀납 가설에 따라 구분됩니다.
수업 번호 7.
가분성 문제 해결.
예 번호 24.
증명해 보세요 
다음으로 나눈다5
흔적도 없이.
증거.
~에 n=1
다음으로 나눈다5.
~에 p=k
다음으로 나눈다5
흔적도 없이.
~에 p=k+1 각 용어는 다음과 같이 나뉩니다.5 흔적도 없이.
예 번호 25.
증명해 보세요 
다음으로 나눈다6
흔적도 없이.
증거.
~에 n=1
다음으로 나눈다6
흔적도 없이.
에 보자 p=k
다음으로 나눈다6
흔적도 없이.
~에 p=k+1다음으로 나눈다 6
각 항은 다음으로 나누어지기 때문에 나머지가 없습니다.6
나머지 없이: 첫 번째 항은 귀납 가설에 의한 것이고, 두 번째 항은 명백하며, 세 번째 항은 다음과 같습니다. 
우수.
예 번호 26.
증명해 보세요 
로 나눌 때9
나머지를 준다 1
.
증거.
그것을 증명해보자 
다음으로 나눈다9
.
~에 n=1 
다음으로 나눈다 9
. 에 보자 p=k
다음으로 나눈다9
.
~에 p=k+1다음으로 나눈다 9 .
예 번호 27.
다음과 같이 나눌 수 있음을 증명하세요.15 흔적도 없이.
증거.
~에 n=1다음으로 나눈다 15 .
에 보자 p=k다음으로 나눈다 15 흔적도 없이.
~에 p=k+1
첫 번째 항은 배수이다15
귀납 가설에 따르면 두 번째 항은 다음의 배수입니다.15
– 분명히 세 번째 항은 다음의 배수입니다.15
, 왜냐하면 
다수의5
(예제 21에서 증명됨) 네 번째와 다섯 번째 항도 배수입니다.5
, 이는 명백합니다. 그렇다면 합계는 배수입니다.15
.
레슨 번호 8-9.
수학적 귀납법으로 불평등 증명
예 번호 28. 
.
~에 n=1우리는 
- 오른쪽.
에 보자 p=k 
- 진정한 불평등.
~에 p=k+1
그러면 불평등은 모든 자연계에 유효합니다. N.
예 번호 29.불평등이 사실임을 증명 
언제든지 N.
~에 n=1우리는 올바른 부등식을 얻습니다 4 >1.
에 보자 p=k불평등은 사실이다 
.
언제 증명해 보자. p=k+1불평등은 사실이다 
어떤 자연적인 에게불평등이 있습니다.
만약에 
~에 
저것
예 번호 30.
어떤 자연 상태에서도 N그리고 어떤 
허락하다 n=1 
, 오른쪽.
불평등이 다음에 대해 성립한다고 가정합시다. p=k: 
.
~에 p=k+1
예 번호 31.부등식의 타당성을 증명하세요.
어떤 자연 상태에서도 N.
먼저 자연에 대해 증명해 보겠습니다. 티불평등은 사실이다
부등식의 양변에 다음을 곱해 봅시다. 
. 우리는 동등한 불평등을 얻거나 
; 
; - 이 불평등은 모든 자연계에 적용됩니다. 티.
~에 n=1원래 부등식은 정확하다 
; 
; 
.
불평등을 유지하자 p=k: 
.
~에 p=k+1 
레슨 번호 10.
주제에 대한 문제 해결
수학적 귀납법.
예 번호 32.베르누이 부등식을 증명하세요.
만약에 
, 모든 자연값에 대해N
불평등이 유지된다
증거.
~에 n=1
증명되는 부등식은 다음과 같은 형태를 취합니다 
그리고 분명히 공평해요. 그것이 사실이라고 가정하자p=k
, 즉, 뭐 
.
조건에 따라 
, 저것 
, 따라서 부등식은 두 부분을 모두 곱해도 그 의미가 바뀌지 않습니다. 
:
왜냐하면 
, 그러면 우리는 그것을 얻습니다
.
따라서 부등식은 다음에 대해 참입니다. n=1, 그리고 그 진실로부터 p=k그것은 심지어 그것이 사실이라는 것을 따른다. n=k+1.이는 수학적 귀납법에 의해 모든 자연계에 대해 성립함을 의미합니다. 피.
예를 들어, 
예 번호 33.
모든 자연 가치 찾기N
, 이는 부등식이 참임 
해결책.
~에 n=1불평등은 공평하다. ~에 n=2불평등도 마찬가지다.
~에 n=3불평등은 더 이상 유지되지 않습니다. 오직 언제 n=6불평등이 유지되므로 귀납법의 기초로 삼을 수 있습니다. n=6.
어떤 자연계에서는 불평등이 사실이라고 가정하자. 에게:
불평등을 고려하라
마지막 부등식은 다음과 같은 경우에 만족됩니다. 
시험 n=1 주제에 대해 반복적으로 제공됩니다: n≥5, 여기서 N- - 자연수.
수학적 귀납법
러시아어로 유도라는 단어는 지침을 의미하며 관찰, 실험을 기반으로 한 결론, 즉 유도라고 합니다. 특정에서 일반으로의 추론을 통해 얻은 것입니다.
예를 들어, 우리는 매일 태양이 동쪽에서 떠오르는 것을 관찰합니다. 그러므로 내일은 서쪽이 아닌 동쪽에 나타날 것이라고 확신할 수 있습니다. 우리는 태양이 하늘을 가로질러 움직이는 이유에 대한 어떤 가정에도 의존하지 않고 이 결론을 내립니다(게다가 지구가 실제로 움직이기 때문에 이 움직임 자체가 명백한 것으로 나타납니다). 그럼에도 불구하고 이 귀납적 결론은 우리가 내일 할 관찰을 정확하게 설명합니다.
실험과학에서 귀납적 결론의 역할은 매우 크다. 그들은 연역을 통해 추가 결론을 도출할 수 있는 조항을 제공합니다. 이론적 역학은 뉴턴의 세 가지 운동 법칙을 기반으로 하지만 이러한 법칙 자체는 실험 데이터, 특히 케플러의 행성 운동 법칙을 통한 깊은 사고의 결과였으며, 케플러는 덴마크 천문학자 티코(Tycho)가 수년간 관찰한 결과를 바탕으로 이 법칙을 도출했습니다. 브라헤. 관찰과 귀납법은 가정을 명확히 하는 데 미래에 유용한 것으로 판명되었습니다. 움직이는 매체에서 빛의 속도를 측정하는 Michelson의 실험 이후 물리 법칙을 명확히하고 상대성 이론을 만드는 것이 필요하다는 것이 밝혀졌습니다.
수학에서 귀납법의 역할은 주로 선택한 공리의 기초가 된다는 것입니다. 장기간의 연습을 통해 직선 경로는 곡선 또는 부러진 경로보다 항상 짧다는 사실이 밝혀진 후 공리를 공식화하는 것이 당연했습니다. 세 점 A, B 및 C에 대해 부등식은 다음과 같습니다.
산술의 기초가 되는 추종의 개념은 군인, 배, 기타 질서 있는 집합의 형성을 관찰한 결과에서도 나타났습니다.
그러나 이것이 수학에서 귀납법의 역할을 소진시킨다고 생각해서는 안 됩니다. 물론 공리로부터 논리적으로 추론된 정리를 실험적으로 테스트해서는 안 됩니다. 유도 중에 논리적 오류가 발생하지 않았다면 우리가 받아들인 공리가 참인 한 정리도 참입니다. 그러나 이 공리 체계로부터 많은 진술을 추론할 수 있습니다. 그리고 증명이 필요한 진술의 선택은 귀납법에 의해 다시 제안됩니다. 이는 유용한 정리와 쓸모없는 정리를 분리할 수 있게 하고, 어떤 정리가 참일 수 있는지를 나타내며, 심지어 증명 경로의 윤곽을 잡는 데도 도움이 됩니다.
수학적 귀납법의 본질
산술, 대수학, 기하학, 해석학의 여러 분야에서 자연 변수에 따라 문장 A(n)의 참을 증명하는 것이 필요합니다. 변수의 모든 값에 대한 명제 A(n)의 참 증명은 종종 다음 원리에 기초한 수학적 귀납법으로 수행될 수 있습니다.
명제 A(n)은 다음 두 조건이 충족되면 변수의 모든 자연값에 대해 참인 것으로 간주됩니다.
명제 A(n)은 n=1일 때 참입니다.
A(n)이 n=k(여기서 k는 임의의 자연수)에 대해 참이라는 가정에서 다음 값 n=k+1에 대해서도 참이라는 결론이 나옵니다.
이 원리를 수학적 귀납법의 원리라고 합니다. 이는 일반적으로 자연수열을 정의하는 공리 중 하나로 선택되므로 증거 없이 받아들여집니다.
수학적 귀납법이란 다음과 같은 증명방법을 의미한다. 모든 자연 n에 대해 문장 A(n)의 참을 증명하려면 먼저 진술 A(1)의 참을 확인하고 두 번째로 진술 A(k)의 참을 가정해야 합니다. A(k +1)이 참이라는 것을 증명해 보세요. 이것이 증명될 수 있고 그 증명이 k의 각 자연값에 대해 유효하다면, 수학적 귀납법의 원리에 따라 명제 A(n)은 n의 모든 값에 대해 참으로 인식됩니다.
수학적 귀납법은 정리, 항등식, 부등식 증명, 분할성 문제 해결, 일부 기하학적 문제 및 기타 여러 문제 해결에 널리 사용됩니다.
문제를 해결하는 수학적 귀납법
정제
수학적 귀납법을 사용하면 자연수의 나눗셈에 관한 다양한 진술을 증명할 수 있습니다.
다음 진술비교적 쉽게 증명할 수 있습니다. 수학적 귀납법을 사용하여 어떻게 얻는지 보여드리겠습니다.
실시예 1. n이 자연수이면 짝수입니다.
n=1일 때 우리의 진술은 참입니다: - 짝수. 짝수라고 가정해보자. 2k는 짝수이므로 
심지어. 따라서 n=1에 대해 패리티가 증명되고, 패리티로부터 패리티가 추론됩니다. 
.이것은 n의 모든 자연값에 대해 짝수라는 것을 의미합니다.
예시 2.문장의 참됨을 증명하라
A(n)=(5는 19의 배수), n은 자연수이다.
해결책.
A(1)=(19로 나눌 수 있는 숫자)라는 진술은 참입니다.
어떤 값에 대해 n=k라고 가정합니다.
A(k)=(19로 나눌 수 있는 숫자)는 참입니다. 그러다가 이후로
분명히 A(k+1)도 참입니다. 실제로 첫 번째 항은 A(k)가 참이라는 가정으로 인해 19로 나눌 수 있습니다. 두 번째 항도 19의 인수를 포함하기 때문에 19로 나눌 수 있습니다. 수학적 귀납법 원리의 두 조건이 모두 충족되므로 명제 A(n)는 n의 모든 값에 대해 참입니다.
수학적 귀납법의 적용
합산 시리즈
예시 1.공식 증명
, n은 자연수이다.
해결책.
n=1일 때 등식의 양쪽 변은 1이 되므로 수학적 귀납법의 첫 번째 조건이 만족됩니다.
n=k에 대해 공식이 옳다고 가정해 봅시다. 즉,
.
이 등식의 양쪽에 더하고 우변을 변환해 보겠습니다. 그러면 우리는 얻는다
따라서 이 공식이 n=k에 대해 참이라는 사실로부터 n=k+1에 대해서도 역시 참이라는 결론이 나옵니다. 이 진술은 k의 모든 자연값에 대해 참입니다. 따라서 수학적 귀납법의 두 번째 조건도 만족됩니다. 공식이 입증되었습니다.
예시 2.자연수열의 처음 n개의 수의 합이 와 같음을 증명하여라.
해결책.
필요한 금액을 표시해 보겠습니다. 
.
n=1이면 가설이 참입니다.
허락하다 
. 그걸 보여주자 
.
사실은,
문제가 해결되었습니다.
예시 3.자연 계열의 처음 n개 숫자의 제곱의 합이 다음과 같음을 증명하십시오. 
.
해결책.
허락하다 .
.
가정해보자 
. 그 다음에
그리고 마침내.
예시 4.그것을 증명하십시오.
해결책.
그렇다면
실시예 5.증명해 보세요
해결책.
n=1일 때 가설은 분명히 참입니다.
허락하다 .
그것을 증명해 봅시다.
정말,
수학적 귀납법을 적용한 예
불평등의 증명
예시 1.임의의 자연수 n > 1에 대해 다음을 증명하십시오.
.
해결책.
부등식의 좌변을 로 나타내자.
따라서 n=2인 경우 부등식은 유효합니다.
k를 좀 보자. 그러면 와 를 증명해 봅시다. 우리는 
, .
과 를 비교하면, 우리는 
, 즉. 
.
임의의 양의 정수 k에 대해 마지막 등식의 우변은 양수입니다. 그렇기 때문에 . 그러나 그것은 또한 의미합니다.
예시 2.추론에서 오류를 찾으십시오.
성명. 임의의 자연수 n에 대해 부등식은 참입니다.
증거.
. (1)
그러면 부등식은 n=k+1에도 유효하다는 것을 증명해 보겠습니다. 즉,
.
실제로 자연 k에 대해서는 2보다 작지 않습니다. 불평등의 왼쪽 변 (1)과 오른쪽 변 2에 더해 봅시다. 우리는 공정한 불평등을 얻습니다. 
. 그 진술은 입증되었습니다.
예시 3.증명해 보세요 
, 여기서 >-1, , n은 1보다 큰 자연수입니다.
해결책.
n=2의 경우 부등식은 참입니다.
n=k에 대해 부등식을 적용합니다. 여기서 k는 자연수입니다. 즉
. (1)
그러면 부등식은 n=k+1에도 유효하다는 것을 보여드리겠습니다. 즉,
. (2)
실제로 조건에 따라 이므로 부등식은 참입니다.
, (3)
부등식 (1)에서 각 부분을 곱하여 얻습니다. 부등식 (3)을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다. 마지막 부등식의 오른쪽에 있는 양수항을 버리면 공정한 부등식(2)을 얻습니다.
예시 4.증명해 보세요
(1)
여기서 , , n은 1보다 큰 자연수이다.
해결책.
n=2인 경우 부등식(1)은 다음과 같은 형식을 취합니다.
. (2)
이므로 부등식은 참입니다.
. (3)
불평등(3)의 각 부분을 더함으로써 우리는 불평등(2)을 얻습니다.
이는 n=2에 대해 부등식(1)이 참임을 증명합니다.
n=k에 대해 부등식(1)이 참이라고 가정합니다. 여기서 k는 자연수입니다.
. (4)
그러면 부등식 (1)이 n=k+1에 대해서도 참이어야 함을 증명해 보겠습니다. 즉,
(5)
부등식 (4)의 양변에 a+b를 곱해 봅시다. 조건에 따라 다음과 같은 공정 불평등을 얻습니다.
. (6)
불평등(5)의 타당성을 증명하려면 다음을 보여주는 것으로 충분합니다.
, (7)
아니면 뭐가 똑같나요?
. (8)
불평등 (8)은 불평등과 동일합니다
. (9)
, 그러면 , 그리고 부등식(9)의 왼쪽에 우리는 두 가지의 곱을 얻습니다. 양수. , 그러면 , 그리고 부등식(9)의 왼쪽에 우리는 두 가지의 곱을 얻습니다. 음수. 두 경우 모두 불평등 (9)가 참입니다.
이는 n=k에 대한 부등식(1)의 타당성이 n=k+1에 대한 타당성을 암시한다는 것을 증명합니다.
타인에게 적용되는 수학적 귀납법
작업
정수론과 대수학에서 이 방법을 사용하는 것과 마찬가지로 기하학에서 수학적 귀납법을 가장 자연스럽게 적용하는 것은 기하학적 계산 문제를 해결하는 데 적용하는 것입니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예시 1.반지름이 R인 원에 내접된 정사각형의 변을 계산합니다.
해결책.
n=2일 때 2가 맞습니다. N - 정사각형은 정사각형입니다. 그의 편. 또한, 두 배의 공식에 따르면
우리는 정팔각형의 측면을 발견했습니다 
, 정육각형의 변 
, 정삼각형 32개의 변 
. 따라서 우리는 올바른 새겨진 2의 측면이 있다고 가정할 수 있습니다. N - 평등을 위한 제곱
. (1)
정삼각형의 변이 식 (1)로 표현된다고 가정해보자. 이 경우, 두 배의 공식에 따르면
,
여기서 공식 (1)은 모든 n에 대해 유효합니다.
예시 2.n각형(반드시 볼록할 필요는 없음)을 서로 분리된 대각선으로 나눌 수 있는 삼각형은 몇 개입니까?
해결책.
삼각형의 경우 이 숫자는 1과 같습니다(삼각형에는 단일 대각선을 그릴 수 없습니다). 사변형의 경우 이 숫자는 분명히 2입니다.
모든 k-gon이 k인 것을 이미 알고 있다고 가정합니다.
앤
1 2
A 1 A k를 이 분할의 대각선 중 하나라고 가정합니다. n각형 A 1 A 2 ...A n을 k각형 A 1 A 2 ...A k와 (n-k+2)-gon A 1 A k A k+1 ..로 나눕니다. .A n . 가정에 따라 파티션의 총 삼각형 수는 다음과 같습니다.
(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;
따라서 우리의 진술은 모든 n에 대해 입증되었습니다.
예시 3.볼록 n각형을 서로소 대각선에 의해 삼각형으로 나눌 수 있는 방법의 수 P(n)을 계산하는 규칙을 설명하십시오.
해결책.
삼각형의 경우 이 숫자는 분명히 1과 같습니다: P(3)=1.
모든 k에 대해 숫자 P(k)를 이미 결정했다고 가정해 보겠습니다.
Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).
이 공식을 사용하여 우리는 일관되게 다음을 얻습니다.
P(4)=P(3)+P(3)=2,
P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,
P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14
등.
수학적 귀납법을 사용하여 그래프 문제를 해결할 수도 있습니다.
일부 점을 연결하고 다른 점은 없는 평면의 선 네트워크가 있다고 가정합니다. 우리는 이러한 선 네트워크를 지도라고 부르며, 정점으로 지정된 점, 인접한 두 꼭지점 사이의 곡선 세그먼트(지도의 경계, 지도의 경계로 구분되는 평면의 일부), 지도의 국가를 호출합니다.
비행기에서 지도를 나눠주세요. 각 국가를 특정 색상으로 칠하고 공통 국경을 가진 두 국가를 서로 다른 색상으로 칠하면 올바른 색상이라고 말할 수 있습니다.
예시 4.평면에는 n개의 원이 있습니다. 이 원들의 배열에 대해 그들이 형성하는 지도는 두 가지 색상으로 올바르게 색칠될 수 있음을 증명하십시오.
해결책.
n=1인 경우 우리의 진술은 분명합니다.
n개의 원으로 구성된 모든 지도에 대해 우리의 진술이 참이라고 가정하고 평면에 n+1개의 원이 있다고 가정해 보겠습니다. 이 원 중 하나를 제거하면 가정에 따라 검은색과 흰색 등 두 가지 색상으로 올바르게 색칠할 수 있는 지도를 얻을 수 있습니다.
레슨 #50
수업 주제 : 수학적 귀납법.
수업 목표: 알아보기수학적 귀납법의 본질을 이해하고, 증명 문제를 해결할 때 이 방법을 적용하는 방법을 배우고, 계속해서 계산 기술을 개발하고, 수학적 활용 능력을 계속 개발합니다.
수업 진행 상황.
조직적인 순간. 수업 목표 설정
기초지식의 활성화.
기하수열의 정의, 기하수열의 n번째 항에 대한 공식입니다.
산술수열의 처음 n항의 합을 구하는 공식을 반복하세요.
무한히 감소하는 기하수열의 합을 구하는 공식을 반복하세요
3. 새로운 자료 학습
많은 문제를 풀 때, 수학적 명제의 타당성을 증명할 때, 공식을 도출할 때 추론을 사용하는 경우가 많습니다.수학적 귀납법에 의해.
예를 들어, 공식을 도출할 때 이런 종류의 추론을 사용했습니다.N첫 번째 항의 합계에 대한 공식을 도출할 때뿐만 아니라N산술 및 기하 수열의 구성원.
이 방법의 본질은 다음과 같습니다. 자연수가 나타나는 일부 진술의 타당성을 확립해야 하는 경우N, 저것:
1) 의도한 진술이 특정 값에 대해 유효한지 확인됩니다.N(예를 들어N=1).
2) 임의의 값에 대해 진술이 참이라고 가정합니다.N = 케이 , 그리고 이 경우에도 마찬가지라는 것이 증명되었습니다.N = 케이 + 1. 이것으로부터 우리는 그 진술이 모든 값에 대해 참이라는 결론을 내립니다.N, 그 정의가 발견되었을 때N=1, 그리고 입증된 바에 따르면 이는 다음에도 해당됩니다.N= 2이고 이는 다음 경우에 해당됩니다.N= 2이면 다음에도 해당됩니다.N= 3 등
이제 이 방법을 사용하는 예를 살펴보겠습니다.
예 1. 모든 자연 현상에 대해 이를 증명해 보겠습니다.N평등이 있다
공식은 다음과 같습니다.N= 1, 이후:
공식이 옳다고 가정하자.n = 케이 .
이 경우에도 마찬가지임을 증명해 보겠습니다.N = 케이+ 1, 즉
직접 검증을 통해 공식이 올바른 것으로 나타났습니다.N =1; 그러므로 다음에도 유효합니다.N= 2이므로N= 3, 그러므로,n = 4 그리고 일반적으로 자연적인 경우N.
4.문제 해결
№249(a)
이 문제에서는 공식을 증명해야 합니다.N – 일수학적 귀납법을 사용하는 산술 수열의 구성원
~에N=1 우리는 1 =a 1.
이 공식이 다음과 같다고 가정해 보겠습니다.케이번째 항, 즉 평등 a 케이 = 에이 1 + 디( 케이-1)
이 경우 이 공식이 (케이+1)번째 멤버. 정말,
에이 케이 +1 = 에이 1 + 디( 케이+1-1) = a 1 + dk
반면에 정의에 따르면 arif. 음식물. 에이 케이 +1 = 에이 케이 + 디
마지막 두 표현식의 왼쪽은 =이고 오른쪽은 동일하므로:
에이 케이 + 디=a 1 + dk또는 케이 = 에이 1 + 디( 케이-1)
결과적인 올바른 평등을 통해 우리는 공식이 다음과 같이 말할 수 있습니다.N산술 수열의 번째 항은 모든 자연계열에 적합합니다.N
№ 255
숫자가 11임을 증명해보자 n+1 +12 2 N -1 모든 자연적 가치에 대해N133으로 나눌 수 있음
~에N=1 11개가 있습니다 1+1 +12 2*1-1 =133, 133을 133으로 나눈 값
언제라고 가정하자N= 케이합계 11 케이 +1 +12 2 케이 -1 133으로 나눌 수 있음
이 합이 133으로 나누어진다는 것을 증명해보자.N= 케이+1, 즉 11 케이 +2 +12 2 케이 +1 133으로 나눌 수 있음
11 k+2 +12 2k+1 =11*11 케이 +1 +144*12 k-1 =11*11 케이 +1 +11*12 2k-1 +133*12 2k-1 =11(11 k+1 +12 2k-1 )+133*12 2k-1
결과 합계의 각 항은 133으로 나뉩니다. 따라서 11 케이 +2 +12 2 케이 +1 133으로 나누기도 합니다.
5. 반성
6. D/z 설정
§15 해결 251호
주요 경제 시스템 유형의 비교 특성
정정 개인소득세 신고서 제출 3
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