Хаотическое движение во внешнем поле. Газ в потенциальном поле. Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле. Работа газа при расширении

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде

На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Закон больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

БОЛЬЦМАН (Boltzmann) Людвиг (1844-1906), австрийский физик, один из основателей статистической физики и физической кинетики, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1899). Вывел функцию распределения, названную его именем, и основное кинетическое уравнение газов. Дал (1872) статистическое обоснование второго начала термодинамики. Вывел один из законов теплового излучения (закон Стефана - Больцмана).

Из-за хаотического движения изменения в положении каждой частицы (молекулы, атома и т.д.) физической системы (макроскопического тела) носят характер случайного процесса. Поэтому можно говорить о вероятности обнаружить частицу в той или иной области пространства.

Из кинематики известно, что положение частицы в пространстве характеризуется ее радиусом-вектором или координатами.

Рассмотрим вероятность dW() обнаружить частицу в области пространства определяемой малым интервалом значений радиуса-вектора , если физическая система находится в состоянии термодинамического равновесия.

Векторный интервал будем измерять объемом dV=dxdydz.

Плотность вероятности (функция вероятности распределения значений радиуса-вектора )

.

Частица в данный момент времени реально где-то находится в указанном пространстве, значит должно выполняться условие нормировки:

Найдем функцию вероятности распределения частиц f() классического идеального газа. Газ занимает весь объем V и находится в состоянии термодинамического равновесия с температурой Т.

При отсутствии внешнего силового поля все положения каждой частицы равновероятны, т.е. газ занимает весь объем с одинаковой плотностью. Поэтому f() = c onst.

Используя условие нормировки найдем, что

,

Если число частиц газа N, то концентрация n = N/V .

Следовательно, f(r) =n/N .

Вывод : в отсутствие внешнего силового поля вероятность dW() обнаружить частицу идеального газа в объеме dV не зависит от положения этого объема в пространстве, т.е. .

Поместим идеальный газ во внешнее силовое поле.

В результате пространственного перераспределения частиц газа плотность вероятности f() ¹ c onst.

Концентрация частиц газа n и давление его Р будут различными, т.е. в пределе где D N — среднее число частиц в объеме D V и давление в пределе , где D F- абсолютное значение средней силы, действующей нормально на площадку D S.

Если силы внешнего поля являются потенциальными и действуют в одном направлении (например, сила тяжести Земли направлена вдоль оси z), то силы давления, действующие на верхнее dS 2 и нижнее dS 1 основания объема dV, не будут равны друг другу (рис. 2.2).

В этом случае разность сил давления dF на основания dS 1 и dS 2 должна быть скомпенсирована действием сил внешнего поля .

Суммарная разность сил давления dF = nGdV,

где G — сила, действующая на одну частицу со стороны внешнего поля.

Разность сил давления (по определению давления) dF = dPdxdy. Следовательно, dP = nGdz.

Из механики известно, что потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле связана с силой этого поля соотношением .

Тогда разность давлений на верхнее и нижнее основания выделенного объема dP = — n dW p .

В состоянии термодинамического равновесия физической системы ее температура Т в пределах объема dV везде одинакова. Поэтому используем уравнение состояния идеального газа для давления dP = kTdn.

Решив совместно последние два равенства получим, что

— ndW p = kTdn или .

После преобразований найдем, что

,

где ℓ n n o — постоянная интегрирования (n o — концентрации частиц в том месте пространства, где W p =0).

После потенцирования, получим

.

Вывод: в состоянии термодинамического равновесия концентрация (плотность) частиц идеального газа, находящегося во внешнем силовом поле, изменяется по закону, определяемому формулой (2.11), которую называют распределением Больцмана .

С учетом (2.11) функция вероятности распределения молекул в поле силы тяжести принимает вид

.

Вероятность обнаружить частицу идеального газа в объеме dV, расположенного у точки, определяемой радиусом-вектором , представим в виде

.

Для идеального газа давление отличается от концентрации только постоянным множителем kT (P=nkT).

Следовательно, для таких газов давление

,

Применим распределение Больцмана к атмосферному воздуху, находящему в поле тяготения Земли.

В состав атмосферы Земли входят газы: азот — 78,1 %; кислород — 21 %; аргон-0,9 %. Масса атмосферы -5,15 × 10 18 кг. На высоте 20-25 км — слой озона.

Вблизи земной поверхности потенциальная энергия частиц воздуха на высоте h W p = m o gh , где m o — масса частицы.

Потенциальная энергия на уровне Земли (h=0) равна нулю (W p =0).

Если в состоянии термодинамического равновесия частицы земной атмосферы имеют температуру Т, то изменение давления атмосферного воздуха с высотой происходит по закону

.

Формула (2.15) называется барометрической формулой ; применима для разреженных смесей газов.

Заключение : для земной атмосферы чем тяжелее газ, тем быстрее падает его давление в зависимости от высоты, т.е. по мере увеличения высоты атмосфера должна все более обогащаться легкими газами. Из-за изменения температуры атмосфера не находится в равновесном состоянии. Следовательно, барометрическую формулу можно применять к малым участкам, в пределах которых изменения температуры не происходит. Кроме того, на неравновесность земной атмосферы влияет гравитационное поле Земли, которое не может удержать ее вблизи поверхности планеты. Происходит рассеивание атмосферы и тем быстрее, чем слабее гравитационное поле. Например, земная атмосфера рассеивается достаточно медленно. За время существования Земли (

4-5 млрд. лет) она потеряла малую часть своей атмосферы (в основном легких газов: водорода, гелия и др.).

Гравитационное поле Луны слабее земного, поэтому она практически полностью потеряла свою атмосферу.

Неравновесность земной атмосферы можно доказать следующим образом. Допустим, что атмосфера Земли пришла в состояние термодинамического равновесия и в любой точке ее пространства она имеет постоянную температуру. Применим формулу Больцмана (2.11), в которой роль потенциальной энергии выполняет потенциальная энергия гравитационного поля Земли, т.е.

где g — гравитационная постоянная; М з — масса Земли; m o — масса частицы воздуха; r — расстояние частицы от центра Земли.

При r ® ¥ W p =0. Поэтому распределение Больцмана (2.11) принимает вид

,

files.lib.sfu-kras.ru

11.2 Закон распределения молекул идеального газа во внешнем силовом поле

При рассмотрении кинетической теории газов и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа не действуют никакие силы, за исключением ударов молекул. Поэтому, молекулы равномерно распределяются по всему сосуду. В действительности молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Вследствие этого, каждая молекула массой m испытывает действие силы тяжести f =mg.

Выделим горизонтальный элемент объема газа высотой dh и площадью основания S (рис. 11.2). Считаем газ однородным и температуру его постоянной. Число молекул в этом объеме равно произведению его объема dV=Sdh на число молекул в единице объема. Полный вес молекул в выделенном элементе равен

Действие веса dF вызывает давление, равное

минус — т.к. при увеличении dh давление уменьшается. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории

Приравнивая правые части (11.2) и (11.3), получаем

или

Интегрируя это выражение в пределах от до h (соответственно концентрация изменяется от до n):

получим

Потенцируя полученное выражение, находим

Показатель степени при exp имеет множитель , который определяет приращение потенциальной энергии молекул газа. Если переместить молекулу с уровня до уровня h, то изменение ее потенциальной энергии будет

Тогда уравнение для концентрации молекул преобразуется к виду

Это уравнение отображает общий закон Больцмана и дает распределение числа частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Он применим к любой системе частиц, находящихся в силовом поле, например в электрическом.

physics-lectures.ru

Распределение Больцмана

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Предположим, что газ находится во внешнем потенциальном поле. В таком случае молекула газа массы $m_0\ ,$ движущаяся со скоростью $\overrightarrow \ $имеет энергию $_p$, которая выражается формулой:

Вероятность ($dw$) нахождения этой частицы в фазовом объеме $dxdydzdp_xdp_ydp_z$ равно:

Плотности вероятности координат частицы и ее импульсов независимы, следовательно:

Формула (5) дает распределение Максвелла для скоростей молекул. Рассмотрим внимательнее выражение (4), которое приводит к распределению Больцмана. $dw_1\left(x,y,z\right)$ — плотность вероятности нахождения частицы в объеме $dxdydz$ вблизи точки с координатами $\left(x,y,z\right)$. Будем считать, что молекулы газа независимы и в выделенном объеме газа n частиц. Тогда по формуле сложения вероятностей получим:

Коэффициент $A_1$ находится из условия нормировки, которое в имеющемся у нас случае значит, что в выделенном объеме n частиц:

Что такое распределение Больцмана

Распределением Больцмана называют выражение:

Выражение (8) задает пространственное распределение концентрации частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Коэффициент $A_1$ не вычисляют, если необходимо знать только распределение концентрации частиц, а не их количество. Допустим, что в точке ($x_0,y_ z_0$) задана концентрация $n_0$=$n_0$ $(x_0,y_ z_0)=\frac $, потенциальная энергия в той же точке $U_0=U_0\left(x_0,y_ z_0\right).$ Обозначим концентрацию частиц в точке (x,y,z) $n_0\ \left(x,y,z\right).\ $Подставим данные в формулу (8), получим для одной точки:

для второй точки:

Выразим $A_1$ из (9), подставим в (10):

Чаще всего распределение Больцмана используют именно в виде (11). Особенно удобно подобрать нормировку, при которой $U_0\left(x,y,z\right)=0$.

Распределение Больцмана в поле сил тяжести

Распределение Больцмана в поле сил тяжести имеет можно записать в следующем виде:

где $U\left(x,y,z\right)=m_0gz$ — потенциальная энергия молекулы массы $m_0$ в поле тяжести Земли, $g$ — ускорение свободного падения, $z$ — высота. Или для плотности газа распределение (12) запишется как:

Выражение (13) называют барометрической формулой.

При выводе распределения Больцмана никаких ограничений для массы частицы не применялось. Следовательно, оно применимо и для тяжелых частиц. Если масса частицы велика, то показатель экспоненты быстро изменяется с высотой. Таким образом, сама экспонента быстро стремится к нулю. Для того, чтобы тяжелые частицы «не осели на дно», необходимо, чтобы их потенциальная энергия была малой. Это достигается в том случае, если частицы помещают, например, в плотную жидкость. Потенциальная энергия частицы U(h) на высоте h взвешенная в жидкости:

где $V_0$- объем частиц, $\rho $- плотность частиц, $_0$ — плотность жидкости, h — расстояние (высота) от дна сосуда. Следовательно, распределение концентрации частиц взвешенных в жидкости:

Для того, чтобы эффект был заметен, частицы должны быть малы. Визуально этот эффект наблюдают с помощью микроскопа.

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Средняя длина свободного пробега молекулы равна отношению пути, пройденного молекулой за 1 с, к числу происшедших за это время столкновений: = / =1/(42r 2 n 0).

24.Внутренняя энергия идеального газа.

Внутренняя энергия – это сумма энергий молекулярных взаимодействий и энергии теплового движения молекул.

Внутренняя энергия системы зависит только от её состояния и является однозначной функцией состояния.

Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна массе газа и его термодинамической температуре.

Работа газа при расширении.

Пусть в цилиндре под поршнем находится газ, занимающий объём V под давлением p. Площадь поршня S. Сила, с которой газ давит на поршень, F=pS. При расширении газа поршень понимается на высоту dh, при этом газ совершает работу A=Fdh=pSdh. Но Sdh=dV – увеличение объёма газа. Следовательно элементарная работа A=pdV. Полную работу A, совершаемую газом при изменении его объёма от V1 до V2 найдём интегрированием

Результат интегрирования зависит от процесса, протекающего в газах.

При изохорном процессе V=const, следовательно, dV=0 и A=0.

При изобарном процессе p=const, тогда

Работа при изобарном расширении газа равна произведению давления газа на увеличение объёма.

При изотермическом процессе T=const. p=(mRT)/(MV).

Количество теплоты.

Энергия, переданная газу путём теплообмена, называется количеством теплоты Q .

При сообщении системе бесконечно малого количества теплоты Q его температура изменится на dT.

26. Теплоёмкостью С системы называют величину, равную отношению сообщенного системе количества теплоты Q к изменению температуры dT системы: C=Q/dT.

Различают удельную теплоёмкость (теплоёмкость 1 кг вещества) c=Q/(mdT) и молярную теплоёмкость (теплоёмкость 1 моль вещества) c=Mc.

При различных процессах, протекающих в термодинамических системах, теплоёмкости будут различны.

Популярное:

• СНиП - строительные нормы и правила, ПУЭ - правила устройства электроустановок, ГОСТ, Правила технической эксплуатации электроустановок потребителей. Правила технической эксплуатации электроустановок потребителей. (утв. приказом Минэнерго […]
• Нужно ли платить налоги за интернет-магазин? Собственно вопрос в теме, спасибо. налоги надо платить за всё, что приносит доход конечно нужно - иначе это незаконное предпринимательство и уголовно наказумемо)) Нужно-то нужно, а вот […]
• "КАТКОВ И ПАРТНЁРЫ" В команде собраны ведущие IP юристы, патентные поверенные, аудиторы, оценщики, налоговые юристы, а также эксперты и адвокаты, решающие задачи по досудебному (медиации) и судебному разрешению споров. Наши эксперты […]
• DNS Задача разрешения имен подразумевает определение IP адреса узла Задача разрешения имен подразумевает определение IP адреса узла по его символьному имени и определение символьного имени по заданному IP адресу. Исторически первый, но до […]
• Авито - Блокируют без объяснения Вот и у меня сегодня терпение лопнуло. Понятно что не только бесплатные объявления блокируют без причины, но еще в оправдание могут вам 2 летней давности вытащить их архива когда то по первости и незнанию […]
• Форум MyArena.ru Ищу плагин "Правила сервера" MoRFiuS 02 июн 2013 Гугли Rules hlmod А в панели нет такого мода? September 02 июн 2013 илиhttp://hlmod.ru/foru. menu-1-3-a.html 1. sm_rules_descmode - 1 пишет описание правила в чат,0 пишет […]
• Краткий обзор 19 дюймовых мониторов Samsung Обзор популярных 19 дюймовых мониторов Samsung Экран девятнадцать дюймов – пожалуй, самый распространенный размер экрана. И не удивительно, так как это и самая оптимальная диагональ экрана для […]
• Ubuntu Linux Сайт для пользователей Ubuntu Linux Если зашёл на эту страницу не случайно, а понимая, в чём проблема - проматывай до команд. В двух словах о DNS DNS (англ. Domain Name System - система доменных имён) - компьютерная […]

Пусть идеальный газ находится в каком-либо силовом поле, например, в поле тяжести. Так как на молекулы газа в этом случае действуют внешние силы, то давление газа не будет всюду одинаковым, а будет меняться от точки к точке.

В простейшем случае силы поля имеют неизменное направление, характеризуемое осью z. Пусть две площадки единичной площади ориентированы перпендикулярно оси z и находятся друг от друга на расстоянии dz. Если давления газа на обеих площадках равны р и p + dp, то разность давлений должна, очевидно, равняться суммарной силе, действующей на частицы газа, заключенные в объеме параллелепипеда с единичным основанием и высотой dz . Эта сила равна Fn dz , где n – плотность молекул (т. е. их число в единице объема), a F – сила, действующая на одну молекулу в точке с координатой z . Поэтому

dp = nF dz .

Сила F связана с потенциальной энергией U(z) молекулы соотношением F = - dU/dz, так что

dp = – n dz dU /dz = – n dU .

Так как газ предполагается идеальным, то p = nkT . Если температура газа в различных точках одинакова, то

dp = kT dn .

Разность давлений dp в обоих случаях определяется разностью высот. Поэтому

и окончательно

Здесь n 0 – постоянная, представляющая собой плотность молекул в точке, где U = 0.

Полученная формула, связывающая изменение плотности газа с потенциальной энергией его молекул, называется формулой Больцмана. Давление отличается от плотности постоянным множителем kT , поэтому такое же уравнение справедливо и для давления

В случае поля тяжести вблизи земной поверхности потенциальная энергия молекулы на высоте z равна U = mgz , где m – масса молекулы. Поэтому, если считать температуру газа не зависящей от высоты, то давление р на высоте z будет связано с давлением р 0 на поверхности Земли соотношением

Эту формулу называют барометрической формулой. Ее удобнее представить в виде

где m – молекулярный вес газа, R – газовая постоянная.

Эту формулу можно применять и в случае смеси газов. Поскольку молекулы идеальных газов практически не взаимодействуют друг с другом, каждый газ можно рассматривать отдельно, т. е. аналогичная формула применима к парциальному давлению каждого из них. Чем больше молекулярный вес газа, тем быстрее его давление убывает с высотой. Поэтому атмосфера по мере увеличения высоты все более обогащается легкими газами: кислород, например, убывает в атмосфере быстрее, чем азот.

Следует, однако, иметь в виду, что применимость барометрической формулы к реальной атмосфере весьма ограничена, поскольку атмосфера в действительности не находится в тепловом равновесии и ее температура меняется с высотой.

Из формулы Больцмана можно сделать интересное заключение, если попытаться применить ее к атмосфере на любых расстояниях от Земли. На очень больших расстояниях от земной поверхности под U нужно понимать не mgz , a точное значение потенциальной энергии частицы

где g – гравитационная постоянная, М – масса Земли и r – расстояние от центра Земли. Справедливость этого выражения легко проверить дифференцированием по расстоянию (F = - dU/dr) и последующим сравнением с законом всемирного тяготения. Подстановка этой энергии в формулу Больцмана дает следующее выражение для плотности газа:

где через n ¥ теперь обозначена плотность газа в месте, где U =0 (т. е. на бесконечном расстоянии от Земли). Если r равен радиусу Земли R , получится соотношение между плотностью атмосферы на поверхности Земли n 0 и на бесконечности n ¥ :

Согласно этой формуле плотность атмосферы на бесконечно большом расстоянии от Земли должна была бы быть отлична от нуля. Такой вывод, однако, абсурден, так как атмосфера имеет земное происхождение, и конечное количество газа не может быть распределено по бесконечному объему с нигде не исчезающей плотностью. Полученный вывод объясняется тем, что атмосфера предполагалась находящейся в состоянии теплового равновесия, что не соответствует действительности.

Данный результат показывает, что гравитационное поле вообще не может удержать газ в состоянии равновесия, а потому атмосфера должна непрерывно рассеиваться в пространстве. В случае Земли это рассеяние чрезвычайно медленно, и за все время своего существования Земля не потеряла сколько-нибудь заметной доли своей атмосферы. Но, например, в случае Луны с ее гораздо более слабым полем тяготения потеря атмосферы происходила гораздо быстрее, и в результате Луна в настоящее время атмосферы уже не имеет.

Средняя длина свободного пробега молекулы равна отношению пути, пройденного молекулой за 1 с, к числу происшедших за это время столкновений: = / =1/(42r 2 n 0).

24.Внутренняя энергия идеального газа.

Внутренняя энергия – это сумма энергий молекулярных взаимодействий и энергии теплового движения молекул.

Внутренняя энергия системы зависит только от её состояния и является однозначной функцией состояния.

Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна массе газа и его термодинамической температуре.

Работа газа при расширении.

Пусть в цилиндре под поршнем находится газ, занимающий объём V под давлением p. Площадь поршня S. Сила, с которой газ давит на поршень, F=pS. При расширении газа поршень понимается на высоту dh, при этом газ совершает работу A=Fdh=pSdh. Но Sdh=dV – увеличение объёма газа. Следовательно элементарная работа A=pdV. Полную работу A, совершаемую газом при изменении его объёма от V1 до V2 найдём интегрированием

Результат интегрирования зависит от процесса, протекающего в газах.

При изохорном процессе V=const, следовательно, dV=0 и A=0.

При изобарном процессе p=const, тогда

Работа при изобарном расширении газа равна произведению давления газа на увеличение объёма.

При изотермическом процессе T=const. p=(mRT)/(MV).

Количество теплоты.

Энергия, переданная газу путём теплообмена, называется количеством теплоты Q .

При сообщении системе бесконечно малого количества теплоты Q его температура изменится на dT.

26. Теплоёмкостью С системы называют величину, равную отношению сообщенного системе количества теплоты Q к изменению температуры dT системы: C=Q/dT.

Различают удельную теплоёмкость (теплоёмкость 1 кг вещества) c=Q/(mdT) и молярную теплоёмкость (теплоёмкость 1 моль вещества) c=Mc.

При различных процессах, протекающих в термодинамических системах, теплоёмкости будут различны.

Больцмана распределение

Больцмана распределение , статистически равновесная функция распределения по импульсам р и координатам r частиц идеального газа, молекулы которого движутся по законам классической механики, во внешнем потенциальном поле:

Здесь p 2 /2m - кинетическая энергия молекулы массой m, U(ν) - её потенциальная энергия во внешнем поле, Т - абсолютная температуpa газа. Постоянная А определяется из условия, что суммарное число частиц, находящихся в различных возможных состояниях, равно полному числу частиц в системе (условие нормировки).
Больцмана распределение представляет собой частный случай канонического распределения Гиббса для идеального газа во внешнем потенциальном поле, т. к. при отсутствии взаимодействия между частицами распределение Гиббса распадается на произведение Больцмана распределения для отдельных частиц. Больцмана распределение при U=0 даёт Максвелла распределение. Фкнкцию распределения (1) иногда называют распределением Максвелла - Больцмана, а распределением Больцмана называют функцию распределения (1), проинтегрированную по всем импульсам частиц и представляющую собой плотность числа частиц в точке ν:

где n 0 - плотность числа частиц системы в отсутствии внешнего поля. Отношение плотностей числа частиц в различных точках зависит от разности значений потенциальной энергии в этих точках

где ΔU= U(ν 1)-U(ν 2). В частности, из (3) следует барометрическая формула, определяющая распределение по высоте газа в поле тяготения над земной поверхностью. В этом случае ΔU=mgh, где g - ускорение свободного падения, m - масса частицы, h - высота над земной поверхностью. Для смеси газов с различной массой частиц Больцмана распределение показывает, что распределение парциальных плотностей частиц для каждого из компонентов независимо от других компонентов. Для газа во вращающемся сосуде U (r) определяет потенциал поля центробежных сил U (r)=-mω 2 r 2 /2, где ω - угловая скорость вращения. На этом эффекте основано разделение изотопов и высокодисперсных систем при помощи ультрацентрифуги.
Для квантовых идеальных газов состояние отдельных частиц определяется не импульсами и координатами, а квантовыми уровнями энергии Ε i частицы в поле U(r). В этом случае среднее число частиц в i-том квантовом состоянии, или среднее число заполнения, равно:

где μ - химический потенциал, определяемый из условия, что суммарное число частиц на всех квантовых уровнях Ε i равно полному числу частиц N в системе: Σin i =N. Формула (4) справедлива при таких температурахpax и плотностях, когда среднее расстояние между частицами значительно больше длины волны де Бройля, соответствующей средней тепловой скорости, т. е. когда можно пренебречь не только силовым взаимодействием частиц, но и их взаимным квантовомеханическим влиянием (нет квантового вырождения газа. (см. Вырожденный газ ). Таким образом, Больцмана распределение есть предельный случай как Ферми - Дирака распределения, так и Бозе - Эйнштейна распределения для газов малой плотности.

www.all-fizika.com

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

БОЛЬЦМАН (Boltzmann) Людвиг (1844-1906), австрийский физик, один из основателей статистической физики и физической кинетики, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1899). Вывел функцию распределения, названную его именем, и основное кинетическое уравнение газов. Дал (1872) статистическое обоснование второго начала термодинамики. Вывел один из законов теплового излучения (закон Стефана - Больцмана).

Из-за хаотического движения изменения в положении каждой частицы (молекулы, атома и т.д.) физической системы (макроскопического тела) носят характер случайного процесса. Поэтому можно говорить о вероятности обнаружить частицу в той или иной области пространства.

Из кинематики известно, что положение частицы в пространстве характеризуется ее радиусом-вектором или координатами.

Рассмотрим вероятность dW() обнаружить частицу в области пространства определяемой малым интервалом значений радиуса-вектора , если физическая система находится в состоянии термодинамического равновесия.

Векторный интервал будем измерять объемом dV=dxdydz.

Плотность вероятности (функция вероятности распределения значений радиуса-вектора )

.

Частица в данный момент времени реально где-то находится в указанном пространстве, значит должно выполняться условие нормировки:

Найдем функцию вероятности распределения частиц f() классического идеального газа. Газ занимает весь объем V и находится в состоянии термодинамического равновесия с температурой Т.

При отсутствии внешнего силового поля все положения каждой частицы равновероятны, т.е. газ занимает весь объем с одинаковой плотностью. Поэтому f() = c onst.

Используя условие нормировки найдем, что

,

Если число частиц газа N, то концентрация n = N/V .

Следовательно, f(r) =n/N .

Вывод : в отсутствие внешнего силового поля вероятность dW() обнаружить частицу идеального газа в объеме dV не зависит от положения этого объема в пространстве, т.е. .

Поместим идеальный газ во внешнее силовое поле.

В результате пространственного перераспределения частиц газа плотность вероятности f() ¹ c onst.

Концентрация частиц газа n и давление его Р будут различными, т.е. в пределе где D N — среднее число частиц в объеме D V и давление в пределе , где D F- абсолютное значение средней силы, действующей нормально на площадку D S.

Если силы внешнего поля являются потенциальными и действуют в одном направлении (например, сила тяжести Земли направлена вдоль оси z), то силы давления, действующие на верхнее dS 2 и нижнее dS 1 основания объема dV, не будут равны друг другу (рис. 2.2).

В этом случае разность сил давления dF на основания dS 1 и dS 2 должна быть скомпенсирована действием сил внешнего поля .

Суммарная разность сил давления dF = nGdV,

где G — сила, действующая на одну частицу со стороны внешнего поля.

Разность сил давления (по определению давления) dF = dPdxdy. Следовательно, dP = nGdz.

Из механики известно, что потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле связана с силой этого поля соотношением .

Тогда разность давлений на верхнее и нижнее основания выделенного объема dP = — n dW p .

В состоянии термодинамического равновесия физической системы ее температура Т в пределах объема dV везде одинакова. Поэтому используем уравнение состояния идеального газа для давления dP = kTdn.

Решив совместно последние два равенства получим, что

— ndW p = kTdn или .

После преобразований найдем, что

,

где ℓ n n o — постоянная интегрирования (n o — концентрации частиц в том месте пространства, где W p =0).

После потенцирования, получим

.

Вывод: в состоянии термодинамического равновесия концентрация (плотность) частиц идеального газа, находящегося во внешнем силовом поле, изменяется по закону, определяемому формулой (2.11), которую называют распределением Больцмана .

С учетом (2.11) функция вероятности распределения молекул в поле силы тяжести принимает вид

.

Вероятность обнаружить частицу идеального газа в объеме dV, расположенного у точки, определяемой радиусом-вектором , представим в виде

.

Для идеального газа давление отличается от концентрации только постоянным множителем kT (P=nkT).

Следовательно, для таких газов давление

,

Применим распределение Больцмана к атмосферному воздуху, находящему в поле тяготения Земли.

В состав атмосферы Земли входят газы: азот — 78,1 %; кислород — 21 %; аргон-0,9 %. Масса атмосферы -5,15 × 10 18 кг. На высоте 20-25 км — слой озона.

Вблизи земной поверхности потенциальная энергия частиц воздуха на высоте h W p = m o gh , где m o — масса частицы.

Потенциальная энергия на уровне Земли (h=0) равна нулю (W p =0).

Если в состоянии термодинамического равновесия частицы земной атмосферы имеют температуру Т, то изменение давления атмосферного воздуха с высотой происходит по закону

.

Формула (2.15) называется барометрической формулой ; применима для разреженных смесей газов.

Заключение : для земной атмосферы чем тяжелее газ, тем быстрее падает его давление в зависимости от высоты, т.е. по мере увеличения высоты атмосфера должна все более обогащаться легкими газами. Из-за изменения температуры атмосфера не находится в равновесном состоянии. Следовательно, барометрическую формулу можно применять к малым участкам, в пределах которых изменения температуры не происходит. Кроме того, на неравновесность земной атмосферы влияет гравитационное поле Земли, которое не может удержать ее вблизи поверхности планеты. Происходит рассеивание атмосферы и тем быстрее, чем слабее гравитационное поле. Например, земная атмосфера рассеивается достаточно медленно. За время существования Земли (

4-5 млрд. лет) она потеряла малую часть своей атмосферы (в основном легких газов: водорода, гелия и др.).

Гравитационное поле Луны слабее земного, поэтому она практически полностью потеряла свою атмосферу.

Неравновесность земной атмосферы можно доказать следующим образом. Допустим, что атмосфера Земли пришла в состояние термодинамического равновесия и в любой точке ее пространства она имеет постоянную температуру. Применим формулу Больцмана (2.11), в которой роль потенциальной энергии выполняет потенциальная энергия гравитационного поля Земли, т.е.

где g — гравитационная постоянная; М з — масса Земли; m o — масса частицы воздуха; r — расстояние частицы от центра Земли.

При r ® ¥ W p =0. Поэтому распределение Больцмана (2.11) принимает вид

,

files.lib.sfu-kras.ru

11.2 Закон распределения молекул идеального газа во внешнем силовом поле

При рассмотрении кинетической теории газов и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа не действуют никакие силы, за исключением ударов молекул. Поэтому, молекулы равномерно распределяются по всему сосуду. В действительности молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Вследствие этого, каждая молекула массой m испытывает действие силы тяжести f =mg.

Выделим горизонтальный элемент объема газа высотой dh и площадью основания S (рис. 11.2). Считаем газ однородным и температуру его постоянной. Число молекул в этом объеме равно произведению его объема dV=Sdh на число молекул в единице объема. Полный вес молекул в выделенном элементе равен

Действие веса dF вызывает давление, равное

минус — т.к. при увеличении dh давление уменьшается. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории

Приравнивая правые части (11.2) и (11.3), получаем

или

Интегрируя это выражение в пределах от до h (соответственно концентрация изменяется от до n):

получим

Потенцируя полученное выражение, находим

Показатель степени при exp имеет множитель , который определяет приращение потенциальной энергии молекул газа. Если переместить молекулу с уровня до уровня h, то изменение ее потенциальной энергии будет

Тогда уравнение для концентрации молекул преобразуется к виду

Это уравнение отображает общий закон Больцмана и дает распределение числа частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Он применим к любой системе частиц, находящихся в силовом поле, например в электрическом.

physics-lectures.ru

Закон больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде

На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Алименты в Казахстане: порядок истребования и необходимые процедуры В зaвисимости от различных жизненных ситуаций может возникнуть необходимость в выплате или истребовании алиментов. В данной статье вы узнаете, что такое алименты, […]

Обучение по тепловым энергоустановкам - ПТЭТЭ Срок обучения: от 36 до 72 часов Стоимость: от4000 рублей за специалиста Очный и заочный формат обучения Вам требуется обучить персонал по правилам работы в тепловых энергоустановках? […]

Георгиевский - Правила выполнения архитектурно-строительных чертежей О. В. ГеоргиевскийПравила выполнения архитектурно-строительныхчертежейОлег Викторович Георгиевский,кандидат технических наук,профессор кафедры начертательной […]

Упрощение выражений Свойства сложения, вычитания, умножения и деления полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в удобные выражения для вычислений. Научимся, как можно с помощью этих свойств упрощать […]

Барометрическая формула зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково барометрическая формула имеет следующий вид: где p давление газа в слое расположенном на высоте h p0 давление на нулевом уровне h = h0 M молярная масса газа R газовая постоянная T абсолютная температура. Из барометрической формулы следует что концентрация молекул n или...

45.Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле.

Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа , имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где p — давление газа в слое, расположенном на высоте h , p 0 — давление на нулевом уровне ( h = h 0 ), M — молярная масса газа, R — газовая постоянная , T — абсолютная температура . Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где M — молярная масса газа, R — газовая постоянная.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT . Чем выше температура T , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

(2.5.1)

где n 0 и n - число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h .

Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде

(2.5.2)

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

(2.5.3)

– это закон распределения частиц по потенциальным энергиям – распределение Больцмана. Здесь n 0 – число молекул в единице объёма там, где U = 0.

На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Рис. 2.11

Из (2.5.3) можно получить, что отношение концентраций молекул в точках с U 1 и i>U 2 равно:

(2.5.4)

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
42675.		Изучение конструкции и поверки измерительного преобразователя давления типа "Сапфир – 22ДИ"	35.5 KB
	Березники 2003 Цель работы ознакомиться с принципом действия и конструкцией измерительного преобразователя типа Сапфир22ДИ; выполнить проверку измерительного преобразователя типа Сапфир22ДИ; приобрести навыки в определении давления при помощи измерительных преобразователей типа Сапфир. Стенды предназначены для проведения лабораторных работ по поверке автоматического миллиамперметра КСУ2 в комплекте с преобразователем давления Сапфир22ДИ. На втором стенде установлены автоматический миллиамперметр КСУ2 клеммы Миллиамперметр...
42676.		Изучение конструкции и поверки вторичного прибора РП160	40.5 KB
	Цель работы ознакомление с работой измерительной системы измерения температуры в комплекте пирометр сопротивления заменён магазином сопротивления нормирующий преобразователь НПСЛ вторичный прибор РП160. Порядок проведения работы: Ознакомились со схемой подключения магазина сопротивления нормирующего преобразователя вторичного прибора; Установили магазином сопротивления сопротивление 4171 атм. соответствующее температуре 50С значение температуры считали по шкале прибора РП160; Рассчитали значение...
42677.		Изучение и исследование термоэлектрического метода измерения температур	96 KB
	При этом студенты овладевают методикой поверки автоматического потенциометра КСП4 в комплекте с образцовым потенциометром УПИП60М градуировки шкалы. магазин сопротивлений R4 R10 и клеммы для подключения образцового потенциометра УПИП60М. Поверка автоматического потенциометра КСП4. Для поверки градуировки шкалы автоматического потенциометра КСП4 собирают схему по рисунку.
42678.		Изучение работы жидкостного U – образного манометра и комплекта приборов для измерения давления пневматической ветви ГСП	403.5 KB
	Березники 2007 Цель работы в процессе выполнения лабораторной работы студенты закрепляют знания по разделу Измерение давления и Дистанционная передача сигнала измерительной информации теоретического курса Технические измерения и приборы. Студенты знакомятся с принципом действия устройством преобразователя измерительного разности давления пневматического 13ДД11 в комплекте с вторичным прибором РПВ4. Стенд предназначен для выполнения лабораторной работы по изучению работы измерительного преобразователя разности давления...
42680.			278 KB
	Ознакомиться c основными процедурами, предшествующим установлению ресурса ВС; методами схематизации процессов нагружения. Оформить отчет №1 по лабораторной работе в виде рукописного конспекта, с необходимыми иллюстрациями. В отчете дайте развернутые ответы на все вопросы, которые приведены ниже.
42681.		Исследование процесса испытания конструкционных материалов при случайном режиме нагружения	40 KB
	Ознакомиться c гипотезами накопления повреждений; Стандартизированными спектрами нагружения используемых при изучении усталостных характеристик летательных аппаратов. ВОПРОСЫ В чем заключается смысл концепции линейного накопления повреждений при усталости Основные недостатки линейной гипотезы накопления повреждений В чем заключается смысл модифицированных гипотез...
42682.		Автоматические системы контроля технического состояния самолета. Деформационный рельеф плакированных сплавов как показатель истории нагруженности	1.63 MB
	Ознакомиться с проблемами концентрации напряжения и коэффициентами которые определяют ее; принципами построения автоматизированной системой контроля технического состояния самолета; деформационным рельефом который является показателем поврежденности конструкции самолета. На распечатанном рисунке самолета А380 формат А2 нанести примеры применения систем контроля целостности конструкции. ВОПРОСЫ В чем...
42683.		Основные приемы работы в СУБД Microsoft Access	292 KB
	Основные приемы работы в СУБД Microsoft ccess Приложение ccess является программой входящий в пакет Microsoft Office и предназначено для работы с базами данных. База данных. В общем смысле термин база данных можно применить к любой совокупности связанной информации объединенной вместе по определенному признаку организованных по определенным правилам предусматривающим общие принципы описании хранения и манипулирования данными которые относятся к определенной предметной области. Система управления базами данных СУБД прикладное...