Konusun əsası nədir. Həndəsi cisimlər. Konus. Kəsilmiş konusun yanal və ümumi səthlərinin sahələri

) - Evklid fəzasında bir nöqtədən çıxan bütün şüaları birləşdirərək əldə edilən cisim ( zirvələri konus) və düz bir səthdən keçir. Bəzən konus məhdud bir həcmə malik olan və düz bir səthin təpəsini və nöqtələrini birləşdirən bütün seqmentləri birləşdirərək əldə edilən belə bir cismin bir hissəsidir (bu vəziyyətdə sonuncu deyilir əsas konus, konus isə adlanır söykənmək bu əsasda). Konusun əsası çoxbucaqlıdırsa, belə konus piramidadır.

Ensiklopedik YouTube

1 / 4

✪ Kağızdan konus necə hazırlanır.

Altyazılar

Əlaqədar təriflər

Təpə ilə təməlin sərhədini birləşdirən seqment deyilir konus generatrix.
Konusun generatorlarının birləşməsinə deyilir generatrix(və ya yan) konus səthi. Konusun əmələ gətirən səthi konusvari səthdir.
Təpədən bazanın müstəvisinə perpendikulyar olaraq düşmüş bir seqment (eləcə də belə bir seqmentin uzunluğu) adlanır. konus hündürlüyü.
Konus bucağı- iki əks generatris arasındakı bucaq (konusun zirvəsindəki bucaq, konusun daxilində).
Konusun əsasının simmetriya mərkəzi varsa (məsələn, o, dairə və ya ellipsdir) və konusun təpəsinin təməl müstəvisinə ortoqonal proyeksiyası bu mərkəzlə üst-üstə düşürsə, konus adlanır. birbaşa. Bu halda, təməlin yuxarı və mərkəzini birləşdirən düz xətt deyilir konus oxu.
Oblik (meylli) konus - təpənin bazaya ortoqonal proyeksiyası onun simmetriya mərkəzi ilə üst-üstə düşməyən konus.
Dairəvi konus- əsası dairə olan konus.
Düz dairəvi konus(çox vaxt sadəcə konus adlanır) düz üçbucağı ayağı olan bir xətt ətrafında fırlatmaqla əldə edilə bilər (bu xətt konusun oxunu təmsil edir).
Ellips, parabola və ya hiperbola üzərində dayanan konus müvafiq olaraq adlanır elliptik, parabolik Və hiperbolik konus(son ikisinin sonsuz həcmi var).
Konusun əsas ilə bazaya paralel müstəvi arasında yerləşən və yuxarı ilə əsas arasında yerləşən hissəsinə deyilir. kəsilmiş konus, və ya konusvari təbəqə.

Xüsusiyyətlər

Baza sahəsi sonludursa, konusun həcmi də sonludur və hündürlüyü və təməl sahəsinin məhsulunun üçdə birinə bərabərdir.

V = 1 3 S H , (\displaystyle V=(1 \3-dən çox)SH,)

Harada S- baza sahəsi, H- hündürlük. Beləliklə, verilmiş bazaya (sonlu sahəyə) söykənən və bazaya paralel verilmiş müstəvidə təpəyə malik olan bütün konuslar bərabər həcmə malikdirlər, çünki hündürlükləri bərabərdir.

Sonlu həcmi olan hər hansı konusun ağırlıq mərkəzi bazadan hündürlüyün dörddə birində yerləşir.
Düz dairəvi konusun təpəsindəki bərk bucaq bərabərdir

2 π (1 − cos ⁡ α 2) , (\displaystyle 2\pi \left(1-\cos (\alfa \2-dən çox)\sağ),) burada α konusun açılış bucağıdır.

Belə bir konusun yanal səth sahəsi bərabərdir

S = π R l , (\displaystyle S=\pi Rl,)

və ümumi səth sahəsi (yəni yanal səthin və əsasın sahələrinin cəmi)

S = π R (l + R), (\displaystyle S=\pi R(l+R),) Harada R- əsas radius, l = R 2 + H 2 (\displaystyle l=(\sqrt (R^(2)+H^(2))))- generatriksin uzunluğu.

Dairəvi (mütləq düz olmayan) konusun həcmi bərabərdir

V = 1 3 π R 2 H.

(\displaystyle V=(1 \3-dən çox)\pi R^(2)H.)

Kəsilmiş konus üçün (mütləq düz və dairəvi deyil) həcm bərabərdir:

V = 1 3 (H S 2 − h S 1) , (\displaystyle V=(1 \3-dən çox)(HS_(2)-hS_(1)),) burada S 1 və S 2 müvafiq olaraq yuxarı (yuxarıya ən yaxın) və aşağı bazaların sahələridir, h H Və

- müvafiq olaraq yuxarı və aşağı bazanın müstəvisindən yuxarıya qədər olan məsafələr.

Düz dairəvi konus ilə təyyarənin kəsişməsi konik hissələrdən biridir (degenerativ olmayan hallarda - kəsici təyyarənin mövqeyindən asılı olaraq ellips, parabola və ya hiperbola).

Konus tənliyi Açılış bucağı 2Θ, başlanğıcda təpəsi və oxu ilə üst-üstə düşən oxu olan düz dairəvi konusun yan səthini təyin edən tənliklər :

Oz Koordinatları olan sferik koordinat sistemində (, φ, θ) :

θ = Θ. Koordinatları olan sferik koordinat sistemində (, φ, (\displaystyle \theta =\Teta.)) :

Koordinatları olan silindrik koordinat sistemində ( z z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\displaystyle z=r\cdot \operator adı (ctg) \Theta )

və ya (r = z ⋅ tan ⁡ Θ ., (\displaystyle r=z\cdot \operator adı (tg) \Theta.), (\displaystyle \theta =\Teta.)) :

Koordinatları olan Kartezyen koordinat sistemində x

y z = ± x 2 + y 2 ⋅ çarpayı ⁡ Θ ., (\displaystyle z=\pm (\sqrt (x^(2)+y^(2)))\cdot \operator adı (ctg) \Theta .) Bu tənlik kanonik formada belə yazılır sabitlər haradadır Bu, düz dairəvi konusun yanal səthinin ikinci dərəcəli bir səth olduğunu göstərir (ona deyilir konusvari səth). Ümumiyyətlə, ikinci dərəcəli konusvari səth ellipsə söykənir; uyğun bir Kartezyen koordinat sistemində (ox Oh h Oh ellipsin oxlarına paralel, konusun təpəsi mənşəyi ilə üst-üstə düşür, ellipsin mərkəzi oxun üzərində yerləşir. Açılış bucağı 2Θ, başlanğıcda təpəsi və oxu ilə üst-üstə düşən oxu olan düz dairəvi konusun yan səthini təyin edən tənliklər) onun tənliyi formaya malikdir

x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 , (\displaystyle (\frac (x^(2))(a^(2))))+(\frac (y^(2))( b^(2)))-(\frac (z^(2))(c^(2)=0,)

və a/c h b/c ellipsin yarım oxlarına bərabərdir. Ən ümumi halda, konus ixtiyari düz bir səthə söykəndikdə, konusun yan səthinin tənliyinin (təpəsi başlanğıcda olan) tənliklə verildiyini göstərmək olar. f (x , y , z) = 0 , (\displaystyle f(x,y,z)=0,) funksiyası haradadır f (x , y , z) (\displaystyle f(x,y,z)) homojendir, yəni şərti ödəyir f (α x , α y , α z) = α n f (x , y , z) (\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha ^(n)f(x,y) ,z)) istənilən α həqiqi ədədi üçün.

Skan edin

Fırlanma cismi kimi sağ dairəvi konus ayaqlardan birinin ətrafında fırlanan düzbucaqlı üçbucaqdan əmələ gəlir. burada S 1 və S 2 müvafiq olaraq yuxarı (yuxarıya ən yaxın) və aşağı bazaların sahələridir,- koninin təməlin mərkəzindən yuxarıya doğru hündürlüyü - ətrafında fırlanma baş verən düzbucaqlı üçbucağın ayağıdır. Düzbucaqlı üçbucağın ikinci ayağı Koordinatları olan sferik koordinat sistemində (- konusun altındakı radius. Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası belədir l- konus əmələ gətirmək.

Konus skanını yaratmaq üçün yalnız iki kəmiyyət istifadə edilə bilər Koordinatları olan sferik koordinat sistemində ( h l. Baza radiusu Koordinatları olan sferik koordinat sistemində ( inkişafda konusun əsasının dairəsini müəyyən edir və konusun yan səthinin sektoru yanal səthin generatrix ilə müəyyən edilir. l, yanal səthin sektorunun radiusudur. Sektor bucağı φ (\displaystyle \varphi) Konusun yan səthinin inkişafında düsturla müəyyən edilir:

φ = 360° ( Koordinatları olan sferik koordinat sistemində (/l) .

Konus (yunan dilindən "konos")- şam qozası. Konus insanlara qədim zamanlardan məlumdur. 1906-cı ildə Arximed (e.ə. 287-212) tərəfindən yazılmış "Üsul haqqında" kitabı kəşf edildi. Arximed deyir ki, bu kəşf qədim yunan filosofu Demokritə (e.ə. 470-380) məxsusdur və o, bu prinsipdən istifadə edərək piramidanın və konusun həcmini hesablamaq üçün düsturlar əldə edib.

Konus (dairəvi konus) bir dairədən - konusun əsasından, bu dairənin müstəvisinə aid olmayan bir nöqtədən - konusun təpəsində və konusun təpəsini birləşdirən bütün seqmentlərdən ibarət olan cisimdir. əsas dairə. Konusun təpəsini əsas dairənin nöqtələri ilə birləşdirən seqmentlərə konusun generatorları deyilir. Konusun səthi əsas və yan səthdən ibarətdir.

Konusun yuxarı hissəsini təməlin mərkəzi ilə birləşdirən düz xətt təməl müstəvisinə perpendikulyar olarsa, konus düz adlanır. Düz dairəvi konus, düz üçbucağın ox kimi ayağının ətrafında fırlanması ilə əldə edilən bir cisim kimi qəbul edilə bilər.

Konusun hündürlüyü onun yuxarı hissəsindən təməl müstəvisinə enən perpendikulyardır. Düz bir konus üçün hündürlüyün əsası bazanın mərkəzi ilə üst-üstə düşür. Sağ konusun oxu hündürlüyünü ehtiva edən düz xəttdir.

Konusun generatrixindən keçən və bu generatrixdən çəkilmiş eksenel hissəyə perpendikulyar olan bir müstəvi ilə konusuna konusun toxunan müstəvisi deyilir.

Konus oxuna perpendikulyar olan müstəvi konusla dairəvi şəkildə kəsişir, yan səth isə konus oxunda mərkəzi olan dairə ilə kəsişir.

Konusun oxuna perpendikulyar olan müstəvi ondan daha kiçik bir konusu kəsir. Qalan hissəyə kəsilmiş konus deyilir.

Konusun həcmi hündürlüyü və baza sahəsinin məhsulunun üçdə birinə bərabərdir. Beləliklə, verilmiş bazaya söykənən və təmələ paralel verilmiş müstəvidə təpəsi olan bütün konusların hündürlükləri bərabər olduğundan bərabər həcmə malikdirlər.

Konusun yanal səthinin sahəsini düsturla tapmaq olar:

S tərəfi = πRl,

Konusun ümumi səth sahəsi düsturla tapılır:

S con = πRl + πR 2,

burada R bazanın radiusu, l generatrisin uzunluğudur.

Dairəvi konusun həcmi bərabərdir

V = 1/3 πR 2 H,

burada R - təməlin radiusu, H - konusun hündürlüyü

Kəsilmiş konusun yanal səth sahəsi düsturla tapıla bilər:

S tərəfi = π(R + r)l,

Kəsilmiş konusun ümumi səth sahəsini düsturla tapmaq olar:

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

burada R - alt bazanın radiusu, r - yuxarı bazanın radiusu, l - generatrixin uzunluğu.

Kəsilmiş konusun həcmini aşağıdakı kimi tapmaq olar:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

burada R - alt bazanın radiusu, r - yuxarı əsasın radiusu, H - konusun hündürlüyü.

blog.site, materialı tam və ya qismən kopyalayarkən, orijinal mənbəyə keçid tələb olunur.

Konusun generatrixindən keçən və bu generatrixdən çəkilmiş eksenel hissəyə perpendikulyar olan bir müstəvi ilə konusuna konusun toxunan müstəvisi deyilir.

Konus oxuna perpendikulyar olan müstəvi konusla dairəvi şəkildə kəsişir, yan səth isə konus oxunda mərkəzi olan dairə ilə kəsişir.

Konusun oxuna perpendikulyar olan müstəvi ondan daha kiçik bir konusu kəsir. Qalan hissəyə kəsilmiş konus deyilir.

Konusun yanal səthinin sahəsini düsturla tapmaq olar:

S tərəfi = πRl,

Konusun ümumi səth sahəsi düsturla tapılır:

S con = πRl + πR 2,

burada R bazanın radiusu, l generatrisin uzunluğudur.

Dairəvi konusun həcmi bərabərdir

V = 1/3 πR 2 H,

burada R - təməlin radiusu, H - konusun hündürlüyü

Kəsilmiş konusun yanal səth sahəsi düsturla tapıla bilər:

S tərəfi = π(R + r)l,

Kəsilmiş konusun ümumi səth sahəsini düsturla tapmaq olar:

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

burada R - alt bazanın radiusu, r - yuxarı bazanın radiusu, l - generatrixin uzunluğu.

Kəsilmiş konusun həcmini aşağıdakı kimi tapmaq olar:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

burada R - alt bazanın radiusu, r - yuxarı əsasın radiusu, H - konusun hündürlüyü.

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Bir nöqtədən (konusun yuxarı hissəsindən) çıxan və düz bir səthdən keçənlər.

Belə olur ki, konus məhdud həcmə malik olan və düz səthin təpələrini və nöqtələrini birləşdirən hər bir seqmenti birləşdirərək əldə edilən cismin bir hissəsidir. Sonuncu, bu halda, belədir konusun əsası, və konusun bu əsas üzərində dayandığı deyilir.

Konusun əsası çoxbucaqlı olduqda, o, artıqdır piramida .

Dairəvi konus- bu, bir dairədən (konusun əsası), bu dairənin müstəvisində yatmayan bir nöqtədən (konusun yuxarı hissəsi və konusun yuxarı hissəsini koninin nöqtələri ilə birləşdirən bütün seqmentlərdən) ibarət bir cisimdir. baza).

Konusun təpəsini və əsas dairənin nöqtələrini birləşdirən seqmentlər adlanır konus əmələ gətirir. Konusun səthi əsas və yan səthdən ibarətdir.

Yan səth sahəsi düzgündür n- konusda yazılmış karbon piramidası:

S n =½P n l n,

Harada P n- piramidanın əsasının perimetri və l n- apotem.

Eyni prinsiplə: əsas radiuslu kəsilmiş konusun yanal səth sahəsi üçün R 1, R 2 və formalaşdırmaq l aşağıdakı düsturu alırıq:

S=(R 1 +R 2)l.

Baza və hündürlüyü bərabər olan düz və əyri dairəvi konuslar. Bu orqanlar eyni həcmə malikdir:

Konusun xassələri.

Baza sahəsinin həddi olduqda, konusun həcminin də bir həddi var və hündürlüyü və baza sahəsinin məhsulunun üçüncü hissəsinə bərabərdir.

Harada S- baza sahəsi, H- hündürlük.

Beləliklə, bu bazaya söykənən və təmələ paralel müstəvidə yerləşən təpəsi olan hər bir konus, hündürlükləri eyni olduğundan bərabər həcmə malikdir.

Həcmi həddi olan hər bir konusun ağırlıq mərkəzi bazadan hündürlüyün dörddə birində yerləşir.
Düz dairəvi konusun təpəsindəki möhkəm bucaq aşağıdakı düsturla ifadə edilə bilər:

Harada α - konus açılış bucağı.

Belə bir konusun yanal səthinin sahəsi, düstur:

və ümumi səth sahəsi (yəni yan səthin və əsasın sahələrinin cəmi), düstur:

S=πR(l+R),

Harada R- təməlin radiusu, l- generatriksin uzunluğu.

Dairəvi konusun həcmi, düstur:

Kəsilmiş konus üçün (yalnız düz və ya dairəvi deyil), həcm, düstur:

Harada S 1 Və S 2- yuxarı və aşağı bazaların sahəsi,

burada S 1 və S 2 müvafiq olaraq yuxarı (yuxarıya ən yaxın) və aşağı bazaların sahələridir, Və H- yuxarı və aşağı bazanın müstəvisindən yuxarıya qədər olan məsafələr.

Düz dairəvi konus ilə təyyarənin kəsişməsi konusvari hissələrdən biridir.

İxtiyari konus götürək və onun oxuna perpendikulyar kəsici müstəvi çəkək (şək. 72). Bu müstəvi konus ilə dairəvi şəkildə kəsişir və konusu iki hissəyə ayırır. Hissələrdən biri konus, digəri isə kəsilmiş konus adlanır. Orijinal konusun əsası və bu konusun kəsişməsində təyyarə ilə alınan dairə deyilir kəsilmiş konusun əsasları, və onların mərkəzlərini birləşdirən seqmentdir kəsilmiş konus hündürlüyü.

Konusvari səthin kəsilmiş konusunu bağlayan hissəsinə deyilir yanal səth, və əsaslar arasında qapalı olan konusvari səthin generatrislərinin seqmentləri adlanır. kəsilmiş konus əmələ gətirir. Kəsilmiş konusun bütün generatorları bir-birinə bərabərdir.

Kəsilmiş konus, düzbucaqlı bir trapesiyanı əsaslara perpendikulyar olan tərəfi ətrafında fırlatmaqla əldə edilə bilər. Şəkildə AO və BC əsaslarına perpendikulyar olan CO tərəfi ətrafında düzbucaqlı ABCO trapesiyasının fırlanması nəticəsində alınan kəsik konus göstərilir (şək. 73). Bu zaman yan səth AB yan tərəfinin fırlanması ilə, kəsilmiş konusun əsası isə trapezoidin CB və OA əsaslarının fırlanması ilə əmələ gəlir.

düyü. 73 Şək.74

Bazaların r, r 1 radiuslarını və kəsilmiş konusun l generatrisini bilərək, kəsilmiş konusun yan səthinin sahəsinin düsturunu tapaq (şək. 74).

Kəsilmiş konusun yanal səth sahəsi böyük konus ilə kəsikdən yaranan kiçik konus sahələri arasındakı fərqdir.

Kəsilmiş konusun ümumi səth sahəsi yanal səthin, alt bazanın və yuxarı bazanın sahəsinin cəminə bərabərdir.